Umkehrfunktion einer Exp-Funk. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Fuktion f mit [mm] f(x)=5*((e^x)-2)/(e^{2x}) [/mm] in [2*ln(2);+unendlich[ umkehrbar ist. Ermitteln Sie die Umkehrfunktion f*. |
Ich habe die Umkehrbarkeit mit der (streng) fallenden Monotie in dem Intervall begründet. Zur bildung der Umkehrfunktion bin ich folgendermaßen vorgegangen: Variablentausch:
[mm] x=5*((e^y)-2)/(e^{2y}) [/mm] Nun komme ich jedoch nicht weiter. Ich versucht den natürlich Logarithmus und die mir bekannten Rechengesetze zu benutzen:
[mm] ln(x)=ln(5)+ln((e^y)-2)-ln(e^{2y}
[/mm]
Es ist scheint mir jedoch nicht möglich [mm] ln((e^y)-2) [/mm] nach y aufzulösen, daher ergibt sich:
[mm] ln(x)=ln(5)-2y+ln((e^y)-2)
[/mm]
Kann mir jemand sagen wie man diesen Ansatz erfolgreich zu Ende führt bzw einen geigneteren Ansatz nennen? Danke.
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Hi, Werder,
> Zeigen Sie, dass die Fuktion f mit
> [mm]f(x)=5*((e^x)-2)/(e^{2x})[/mm] in [2*ln(2);+unendlich[ umkehrbar
> ist. Ermitteln Sie die Umkehrfunktion f*.
> Ich habe die Umkehrbarkeit mit der (streng) fallenden
> Monotie in dem Intervall begründet.
Ist OK!
> Zur Bildung der
> Umkehrfunktion bin ich folgendermaßen vorgegangen:
> Variablentausch:
> [mm]x=5*((e^y)-2)/(e^{2y})[/mm] Nun komme ich jedoch nicht weiter.
Vergiss auch nicht, gleich die Definitionsmenge der Umkehrfunktion (= Wertemenge von f) : [mm] D_{f^{-1}} [/mm] = [0; 0,625 ]
> Ich versucht den natürlich Logarithmus und die mir
> bekannten Rechengesetze zu benutzen:
> [mm]ln(x)=ln(5)+ln((e^y)-2)-ln(e^{2y}[/mm]
Das nützt wenig! Du musst bei solchen Aufgaben damit "rechnen", dass eine Substitution nötig wird:
[mm] x=5*((e^y)-2)/(e^{2y})
[/mm]
[mm] x*(e^{y})^{2} [/mm] = [mm] 5*e^{y} [/mm] - 10
[mm] x*(e^{y})^{2} [/mm] - [mm] 5*e^{y} [/mm] + 10 = 0
und nun substituiere z = [mm] e^{y} [/mm] und Du erhältst eine quadratische Gleichung in z.
Die löst Du auf üblichem Weg ("Mitternachtsformel").
Von den 2 möglichen Lösungen [mm] (\pm [/mm] vor der Wurzel!!) musst Du mit Hilfe von Definitions- und Wertemenge die richtige rausfinden!
Viel Erfolg!
mfG!
Zwerglein
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Danke, mein Problem ist damit gelöst.
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