Umkehrfunktion sinh und cosh < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:23 Sa 16.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Aus sinh x = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2}, [/mm] cosh x = [mm] \bruch{e^x + e^{-x}}{2} [/mm] und cosh²-sinh² = 1 kann man die Umkehrfunktionen berechnen (Auflösen nach x): arcosh y = ln(...) |
Hallo Zusammen,
als erste habe ich die Umkehrfunktion gebildet:
sinh x = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2}
[/mm]
y = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2}
[/mm]
2y = [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x}
[/mm]
2y = [mm] e^x [/mm] - [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] |Substitution [mm] z:=e^x
[/mm]
2y = z - [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
2yz = z² -1
z² - 2yz - 1 = 0
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-(-2y) \pm \wurzel{4y²+4}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2y) \pm 2 \cdot{} \wurzel{y²+1}}{2} [/mm] = y [mm] \pm \wurzel{y²+1}
[/mm]
Rücksubstiution:
y [mm] \pm \wurzel{y²+1} [/mm] = [mm] e^x [/mm] | ln()
ln(y [mm] \pm \wurzel{y²+1}) [/mm] = x = arsinh y
Wie entscheidet man, ob ln(y + [mm] \wurzel{y²+1}) [/mm] = arsinh y oder ln(y - [mm] \wurzel{y²+1}) [/mm] = arsinh y ist?
Für cosh x, wäre die Vorgehensweise analog.
Hierbei erhalte ich:
ln(y [mm] \pm \wurzel{y²-1}) [/mm] = x = arcosh y
Stimmt diese Herleitung? Man müsste doch noch y und x vertauschen? Oder man vertauscht die Achsen des Koordinatensystems, wenn man die Funktion zeichnen will?
In der Aufgabenstellung steht noch die Angabe cosh²-sinh² = 1, dies habe ich gar nicht verwendet, gibt es eine andere Möglichkeit die Umkehrfunktion zu bestimmen?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Sa 16.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Ein alternativer Ansatz wäre folgender: Aus der Kettenregel folgt [mm] $$\operatorname{arsinh}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$ [/mm] (Für diesen Schritt benutzt du die Identität [mm] $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$) [/mm] Nun erhalten wir aus dem Hauptsatz der Differentialrechnung: [mm] $$\operatorname{arsinh}(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\ [/mm] dt$$Ich bin leider nicht so fit im Integrale lösen, aber du vielleicht...
> Wie entscheidet man, ob ln(y + $ [mm] \wurzel{y²+1}) [/mm] $ = arsinh y oder ln(y - $ [mm] \wurzel{y²+1}) [/mm] $ = arsinh y ist?
Nun, [mm] $y-\sqrt{y^2+1}$ [/mm] ist negativ, der Logarithmus also gar nicht definert.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Sa 16.05.2009 | | Autor: | itse |
> Ein alternativer Ansatz wäre folgender: Aus der Kettenregel
> folgt [mm]\operatorname{arsinh}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/mm] (Für
> diesen Schritt benutzt du die Identität
> [mm]$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$)[/mm] Nun erhalten wir aus dem
> Hauptsatz der Differentialrechnung:
> [mm]\operatorname{arsinh}(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\ dt[/mm]Ich
> bin leider nicht so fit im Integrale lösen, aber du
> vielleicht...
müsste relativ einfach gehen, ich hätte nun substitutiert und zwar:
t = sinh(t)
dt = cosh(t) dt
dann ergibt sich:
[mm] \int_{}^{} \bruch{cosh(t) dt}{\wurzel{1+sinh²(t)}} [/mm] = [mm] \int_{}^{} \bruch{cosh(t) dt}{\wurzel{cosh²(t)}} [/mm] = [mm] \int_{}^{} [/mm] dt = t + C
und t ist ja
t = arsinh(t)
Gruß
itse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Sa 16.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> > [mm]\operatorname{arsinh}(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\ dt[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> müsste relativ einfach gehen, ich hätte nun substitutiert
> und zwar [....]
Was du damit gezeigt hast, ist das was wir auch vorher schon wussten. Meine Aussage war, dass man alternativ auch zeigen kann, dass $$\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ dt=\log(x+\sqrt{1+x^2}})$$ gilt, wenn man noch nicht weiß dass $\operatorname{arsinh}(x)=\log(x+\sqrt{1+x^2})$ ist. Ich hab aber keine Ahnung wie man das ausrechnet.
Gruß, Robert
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