Umkehrfunktion und Ableitung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mo 10.01.2005 | | Autor: | jakob |
Hallo,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wieter:
Man hat ein Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{cosh(x)} [/mm] fuer [mm] x\ge [/mm] 0.
Ich soll nun die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] von f unter Verwendung elementarer Funktionen wie Logarithmus und Quadratwurzel bestimmen.
Ich bin dazu hier so vorgegangen:
y= [mm] \bruch{1}{cosh(x)}
[/mm]
cosh(x)= [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
Von der Vorlesung weiss ich:
cosh(x)=cos(ix)= [mm] \bruch{e^{x}+ e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{e^{x}+ e^{-x}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
ln [mm] \bruch{e^{x}+ e^{-x}} [/mm] = ln [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Jetzt komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiss , wie ich nun nach x aufloesen soll, weil um die Umkehrfunktion zu berechnen, muss ja immer x und y am Ende vertauschen, aber wie bekomme ich die x`s vom Exponenten raus?
Ich habe hier noch einen guten Hinweis im Buch gefunden, aber leider ohne Rechenschritte. Da steht, dass die Umkehrfunktion von cosh(x), also [mm] f^{-1}(cosh(x)) [/mm] = arcosh(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}-1} [/mm] ist, also die Umkehrfunktion des "Areacosinus hyperbolicus". Kann mir jemamd bitte weiter helfen?
Danach soll ich nun die Ableitung von [mm] f^{-1} [/mm] bestimmen, aber da ich [mm] f^{-1} [/mm] nicht habe, kann ich die Ableitung nicht bestimmen :-( Die Ableitung soll einmal aus der expliziten Formel als auch aus der allgemeinen Formel fuer die Ableitung der Umkehrfunktion sein, aslo also aus [mm] f^{-1}` [/mm] (f(x))= [mm] \bruch{1}{f`(x)}.
[/mm]
ich danke fuer die Hinweise und Tricks und was alles noetig ist.
Mfg,Jakob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mo 10.01.2005 | | Autor: | jakob |
Ich hab mich vetippt an einer Stelle:
Statt [mm] \bruch{3}{4} [/mm] muss natuerlich [mm] \bruch{2}{y} [/mm] stehen.
Danke.
Jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jakob,
für die Umformung zur Ermittlung der Umkehrfunktion ein kleiner Tipp.
Probier's mal mit folgender Substitution:
$z := [mm] e^x$ $\gdw$ [/mm] $x = ln(z)$
sowie [mm] $e^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}$
[/mm]
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 10.01.2005 | | Autor: | jakob |
Hallo,
ich hab deinen Tipp befolgt und erhalte folgendes:
ln( [mm] e^{x}+ e^{-x}) [/mm] = ln (z+ [mm] \bruch{1}{z}) [/mm] = ln( [mm] \bruch{ z^{2}+1}{z}= [/mm] ln( [mm] z^{2}+1) [/mm] - ln z = ????
Wie gehts nun weiter?
Es soll ja gelten : ln( [mm] e^{x}+ e^{-x}) [/mm] = ln [mm] \bruch{2}{y}
[/mm]
Danke. Jakob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Di 11.01.2005 | | Autor: | jakob |
Hallo,
ich habe die Tipps von Loddar befolgt und folgendes gemacht. Jetzt will ich wissen, ob meine Lösung richtig ist.
Also
ich habe [mm] e^{x} [/mm] =: z und [mm] e^{-x}= \bruch{1}{z} [/mm] gesetzt.
Dann ist [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{2}{y}
[/mm]
z + [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{2}{y}
[/mm]
[mm] z^{2} [/mm] + 1 - [mm] \bruch{2}{y} [/mm] z = 0
Nach Auflösen dieser Mitternachtsformel und der Resubstution zu der exp-Funktion und dem ln erhalte ich zwei Lösungen, von denen eine nich in Frage kommen sollte, aber welche???
Also:
[mm] x_{1,2} [/mm] = ln( [mm] \bruch{2}{y} \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{( \bruch{1}{y}+1)( \bruch{1}{y}-1)})-ln2
[/mm]
Welche von beiden ist nun richtig? Um die Umkehrfunktion zu erhalten muss ich ja noch anschließend x und y vertauschen in einer der beiden oberen möglichen Werte. Dies wäre dann [mm] f^{-1}(x) [/mm] oder?
Danke.
Mfg, Jakob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 11.01.2005 | | Autor: | jakob |
Hallo,
danke für deine Hilfe!!! Ich bin der Meinung dass die [mm] x_{1} [/mm] die Umkehrfunktion darstellt wenn man noch x und y vertauscht.
Als nächstes soll ich die Ableitung von [mm] f^{-1} [/mm] bestimmen:
Ich habe folgendes:
[mm] f^{-1}= [/mm] ln (1+ [mm] \wurzel{1+ x^{2}})- [/mm] ln x
Für die Ableitung erhalte ich:
[mm] f^{-1}' [/mm] = - [mm] \bruch{1+ \wurzel{1+ x^{2}}}{x(1+x^{2}+ \wurzel{1+x^{2}})}
[/mm]
Stimmt das?
Wenn ich aber jetzt die Ableitung von [mm] f^{-1} [/mm] nach der allgemeinen Formel
[mm] f^{-1}'(f(x)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(x)}
[/mm]
erhalte ich nicht das gleiche Ergebnis ,sondern :
[mm] \bruch{ sinh^{2}x-1}{sinhx}
[/mm]
Wie kann das sein???
Ich versteh die allg. Formel nicht ganz. Eigentlich müssten doch beide Lösungen gleich sein. Diese sehe ich aber nicht. Kann mir einer bitte helfen? Dabke
Jakob.
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Hallo ihr beiden!
Da ich nun auch schon einige Zeit an der Aufgabe sitze, hier meine Lösung. Zunächst mal erhält man, wie Jakob richtig bemerkt hat,
[mm]x_1=ln\left(\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}\right)[/mm]
[mm]x_2=ln\left(\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}\right)[/mm]
Die zweite Lösung ist hier übrigens nicht falsch, sondern liefert die Werte auf der linken Seite der $y$-Achse. Eine eindeutige Umkehrung gibt es hier nur, wenn man sich für einen der Schenkel entscheidet (wie bei der Normalparabel auch). Das Auseinanderziehen mit Hilfe der Logarithmengesetze verfälscht die Aussage hier leider.
Ich lasse jetzt mal $x$ und $y$ stehen, wie sie sind, und rechne nur mit [mm] $x_1$ [/mm] weiter. Auf der einen Seite gilt ja
[mm]f'(x)=-\frac{1}{cosh^2(x)}\cdot sinh(x)=-y^2\cdot \sqrt{cosh^2(x)-1}=-y^2\cdot \sqrt{\frac{1}{y^2}-1}[/mm]
(wobei hier die Beziehung [mm] $cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$ [/mm] eingeht), also
[mm](f^{-1})'(y)=-\frac{1}{y^2\sqrt{\frac{1-y^2}{y^2}}}=-\frac{1}{y\sqrt{1-y^2}}[/mm]
Berechnet man auf der anderen Seite die Ableitung direkt aus [mm] $x_1$, [/mm] folgt unter Anwendung der Kettenregel und der Quotientenregel:
[mm]\left[ln\left(\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}\right)\right]'=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}\cdot\frac{\frac{-2y}{2\sqrt{1-y^2}}-(1+\sqrt{1-y^2})\cdot 1}{y^2}[/mm]
[mm]=-\frac{1}{1+\sqrt{1-y^2}}\cdot \frac{y^2+\sqrt{1-y^2}+(1-y^2)}{y\sqrt{1-y^2}}[/mm]
[mm]=-\frac{1}{1+\sqrt{1-y^2}}\cdot \frac{\sqrt{1-y^2}+1}{y\sqrt{1-y^2}}[/mm]
[mm]=-\frac{1}{y\sqrt{1-y^2}},[/mm]
also zum Glück dasselbe Ergebnis wie oben. Hoffe, dass jetzt kein Fehler mehr drin ist...
Gute Nacht
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Brigitte!
> Na ja, die Argumentation für [mm]x_1[/mm] sollte dann aber auch
> wirklich über die Vorgabe geschehen und nicht über den
> Definitionsbereich der Logarithmusfunktion.
Ist bereits überarbeitet: ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") click it
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Di 11.01.2005 | | Autor: | jakob |
Hallo Loddar,
ich versteh wie du da auf das rote + kommst.
Nach der Mitternachtsformel muss doch ein minus unter der wurzel stehen.
Ich hab mir auch die PQ-Formel angeschaut. Da steht auch ein Minus.
Die gleichung lautet doch:
[mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x}= \bruch{2}{y}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 12.01.2005 | | Autor: | hallo |
Hallo!
Ich glaub, daist ein fehler. es muss doch [mm] z_{1,2} [/mm] statt [mm] x_{1,2} [/mm] heissen, weil vorher doch substituoiert wurde, und zwar so: z = [mm] e^{x}.
[/mm]
also muesste es doch heissen, dass [mm] e^{x} [/mm] = ln ( [mm] \bruch{1+ \wurzel{1- y^{2}}}{y}
[/mm]
stimmt das? wenn ja, dann sind ja die antworten doch nicht richtig.
dann sind ableitung und umkehrfunktion nicht richtig.
danke
hallo
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
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PQFormel![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
):
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Siehe auch mal ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]"){kind=small}
und komm da auch nicht drauf ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]"){kind=small}
...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
)
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]"){kind=small}
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