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Forum "Funktionen" - Umkehrfunktion zeichnen
Umkehrfunktion zeichnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Umkehrfunktion zeichnen: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 So 12.01.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} x^2-4x+1, & \mbox{für } x \ge 2 \\ 6x-x^2-11, & \mbox{für } x < 2 \mbox{ } \end{cases} [/mm]


a) bestimmen sie den funktionsgraphen

b) begründen sie anhand der skizze: f ist umkehrbar. skizzieren sie den graphen der umkehrfunktion



meine zeichnung lade ich hoch. wie zeichne ich die umkehrfunktion ?
ich weiß, dass sich die umkehrfunktion an der winkelhalbierende spiegelt. eine skizze würde ich so hinkriegen, ab eine zeichung nicht

kann ich bei der scheitelpunktform einfach x und y austauschen?

also [mm] (x-2)^2-3 [/mm]

umkehrfunktion --> [mm] (x+3)^2+2 [/mm]


[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Umkehrfunktion zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 So 12.01.2014
Autor: Sax

Hi,

> f: [mm]\IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} x^2-4x+1, & \mbox{für } x \ge 2 \\ 6x-x^2-11, & \mbox{für } < 2 \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>  
>
> a) bestimmen sie den funktionsgraphen
>  
> b) begründen sie anhand der skizze: f ist umkehrbar.
> skizzieren sie den graphen der umkehrfunktion
>  
> meine zeichnung lade ich hoch. wie zeichne ich die
> umkehrfunktion ?
>  ich weiß, dass sich die umkehrfunktion an der
> winkelhalbierende spiegelt. eine skizze würde ich so
> hinkriegen, ab eine zeichung nicht

Es ist ja auch nur eine Skizze verlangt.

>  
> kann ich bei der scheitelpunktform einfach x und y
> austauschen?

Die Antwort heißt "ja".
Deine Rechnung stimmt, aber jetzt wird es falsch :

>  
> also [mm](x-2)^2-3[/mm]
>  
> umkehrfunktion --> [mm](x+3)^2+2[/mm]

x<-->y  führt zu $ x = [mm] (y-2)^2-3 [/mm] $   [mm] \gdw [/mm]  y = 2 [mm] \pm \wurzel{x+3} [/mm]
Du musst dir jetzt noch überlegen, ob + oder - zur gesuchten Umkehrfunktion gehört :  Weil wir denjenigen Teil der Funktion f betrachten, der zu x [mm] \ge [/mm] 2 gehört, muss jetzt y [mm] \ge [/mm] 2 sein, also das "+"-Zeichen.

Dasselbe machst du jetzt für den anderen Zweig der Funktion und überzeugst dich (und den Lehrer) schließlich davon, dass die Umkehrung insgesamt tatsächlish eine Funktion darstellt.

Gruß Sax.


Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktion zeichnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 So 12.01.2014
Autor: arbeitsamt

habe ich die umkehrfunktion für die zweite gleichung richtig gebildet?

[mm] 6x-x^2-11 [/mm] = y

umkehren:

x= [mm] -y^2+6y-11 [/mm]

x = [mm] -(y^2-6y +3^2 -3^2) [/mm] -11

x = - [mm] (y-3)^2 [/mm] -2

-x-2 = [mm] (y-3)^2 [/mm]

y = [mm] 3-\wurzel{-x-2} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Umkehrfunktion zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 So 12.01.2014
Autor: Sax

Hi,

das ist richtig, du solltest aber noch den Definitionsbereich für x angeben.

Gruß Sax.

Bezug
                                
Bezug
Umkehrfunktion zeichnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 So 12.01.2014
Autor: arbeitsamt

kann es denn sein, dass meine skizze falsch ist?

weil z.b x=-1 laut der gleichung y = [mm] 3-\wurzel{-x-2} [/mm] nicht definiert ist

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Umkehrfunktion zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 So 12.01.2014
Autor: Sax

Hi,

Nein, deine Skizze ist nicht falsch.
Das Problem kommt daher, dass du meinen Hinweis von oben nicht beachtet hast, nämlich den Definitionsbereich anzugeben.

Mache dir klar, dass für x<2, also für den zweiten Teil der Definition von f der y-Wert -1 niemals auftreten kann, also kann man auch den x-Wert -1 nicht in diesen Teil von [mm] f^{-1} [/mm] einsetzen.

Die Umkehrfunktion ist ebenfalls abschnittsweise definiert : Die y-Werte, die man bei f für $ x [mm] \ge [/mm] 2 $ erhält, sind die x-Werte für den ersten Teil der Umkehrung, die y-Werte, die man bei f für $ x < 2 $ erhält, sind die x-Werte für den zweiten Teil der Umkehrung.

Gruß Sax.

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