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| Aufgabe | Für welche x [mm] \in [/mm] R gelten folgende Formeln :
a) arccsc(x)- [mm] arcsin(\bruch{1}{x})=0
[/mm]
b) [mm] arctan(x)+arctan(\bruch{1}{x})=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
c) [mm] arcsin(\wurzel{1-x^{2}}-arccos(x)=0
[/mm]
Hinweis : Fassen Sie die linke Seite der Gleichung als Funktion auf und bestimmen Sie die Ableitung. |
Hallo,
ich übe momentan für die anstehende Klausur und habe bereits die Lösungen für diese Aufgaben. Jedoch verstehe ich den Lösungsweg nicht bzw. weiß nicht, was wirklich gesucht ist, weil ich die Aufgabe an sich nicht verstehe.
Wieso soll ich die Ableitung bilden? Wieso muss ich, nach dem ich die Ableitung gebildet habe wieder eine Zahl aus dem Definitionsbereich in die Ausgangsfunktion setzen? Ist die gewählte Zahl beliebig oder sollte man auf noch etwas achten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Sa 19.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Für welche x [mm]\in[/mm] R gelten folgende Formeln :
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> a) arccsc(x)- [mm]arcsin(\bruch{1}{x})=0[/mm]
>
> b) [mm]arctan(x)+arctan(\bruch{1}{x})=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> c) [mm]arcsin(\wurzel{1-x^{2}}-arccos(x)=0[/mm]
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> Hinweis : Fassen Sie die linke Seite der Gleichung als
> Funktion auf und bestimmen Sie die Ableitung.
> Hallo,
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> ich übe momentan für die anstehende Klausur und habe
> bereits die Lösungen für diese Aufgaben. Jedoch verstehe
> ich den Lösungsweg nicht bzw. weiß nicht, was wirklich
> gesucht ist, weil ich die Aufgabe an sich nicht verstehe.
>
> Wieso soll ich die Ableitung bilden? Wieso muss ich, nach
> dem ich die Ableitung gebildet habe wieder eine Zahl aus
> dem Definitionsbereich in die Ausgangsfunktion setzen? Ist
> die gewählte Zahl beliebig oder sollte man auf noch etwas
> achten?
>
>
Wenn du die Linksterme wie vorgeschlagen als Funktion interpretierst, dann bedeuten die Gleichungen im Wesentlichen, dass diese Funktionen konstant sein sollen (0 bzw. pi/2). Die Ableitung einer konstanten Funktion ist Null. Wenn du also ableitest und nachsiehst, für welche x diese Ableitung jeweils Null ist, weißt du, dass die Funktion für diese x-Werte konstant ist. Allerdings ist damit noch nicht gesagt, dass es sich um die richtige Konstante (0 bzw. pi/2) handelt. Das wird hier offenbar durch Einsetzen eines Wertes sichergestellt. Letzteres könnte schief gehen, wenn die Funktion eine Unstetigkeitsstelle in Form eines endlichen Sprungs aufweist (Treppe) - das wäre also auch noch zu berücksichtigen.
Gruß RMix
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So ganz leuchtet es mir leider nicht ein. Ich verstehe, dass die linke Seite der Gleichung konstant wäre, wenn man diese als Funktion auffasst und auch, dass die Ableitung einer konstanten Funktion 0 ist und man somit schauen kann, für welche x die Ausgangsfunktion konstant ist. Jedoch verstehe ich es dann nicht, wie ich es bei der Teilaufgabe a) machen würde.
Wenn ich ableite erhalte ich :
[mm] -\bruch{1}{|x|\wurzel{x^{2}-1}}-\bruch{1}{\wurzel{-x^{2}+1}}*(-\bruch{1}{x^{2}})
[/mm]
Wie finde ich denn hier heraus, für welche x die Ableitungsfunktion 0 ist?
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Hallo,
> So ganz leuchtet es mir leider nicht ein. Ich verstehe,
> dass die linke Seite der Gleichung konstant wäre, wenn man
> diese als Funktion auffasst und auch, dass die Ableitung
> einer konstanten Funktion 0 ist und man somit schauen kann,
> für welche x die Ausgangsfunktion konstant ist. Jedoch
> verstehe ich es dann nicht, wie ich es bei der Teilaufgabe
> a) machen würde.
>
> Wenn ich ableite erhalte ich :
>
> [mm]-\bruch{1}{|x|\wurzel{x^{2}-1}}-\bruch{1}{\wurzel{-x^{2}+1}}*(-\bruch{1}{x^{2}})[/mm]
>
Da ist dir zunächst mal beim Ableiten des Arkussinusterms ein Fehler unterlaufen. Mit der Definition des Kosekans ausgerüstet, müsste man da an dieser Stelle eigentlich gar nichts mehr rechnen, so viel als Tipp...
> Wie finde ich denn hier heraus, für welche x die
> Ableitungsfunktion 0 ist?
Theoretisch, indem du den Term gleich Null setzt und die so entstandene Gleichung nach x auflöst. Das wird aber bei Aufgabe a) nicht nötig sein, die anderen habe ich (bis jetzt) noch nicht durchgerechnet.
Gruß, Diophant
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Stimmt. Die Ableitung des Arkussinusterms müsste :
[mm] -\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{1}{x^{2}}}}\cdot{}(-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] sein.
Mist, habe echt ein Brett vor dem Kopf :/
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Hallo,
> Stimmt. Die Ableitung des Arkussinusterms müsste :
>
> [mm]-\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{1}{x^{2}}}}\cdot{}(-\bruch{1}{x^{2}})[/mm]
> sein.
>
> Mist, habe echt ein Brett vor dem Kopf :/
Nein, es ist besser, aber immer noch ein Minus zu viel! Vergleiche auch mal mit der Ableitung des Arkuskotangens...
Gruß, Diophant
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$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{1}{x^{2}}}}\cdot{}(-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] $
Pardon, das Minus vor dem ersten Bruch war noch aus der Ausgangsfunktion.
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Sorry, meine Frage besteht noch. Die Frage ist noch offen und deshalb noch eine " Reaktion nötig". Meinen vorherigen Post aus versehen als Mitteilung versendet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Sa 19.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Sorry, meine Frage besteht noch. Die Frage ist noch offen
> und deshalb noch eine " Reaktion nötig". Meinen vorherigen
> Post aus versehen als Mitteilung versendet.
Ein Frageartikel sollte schon auch inhaltlich eine Frage enthalten. Der Hinweis sei erlaubt: das ist hier kein Chat sondern eine ernsthafte Fachberatung. Deine Ableitung war ja jetzt richtig, darüberhinaus konnte ich keinerlei Fragestellung erkennen, daher die Umwandlung (die von mir vorgenommen wurde)!
Nimm dir also lieber und gerne viel mehr Zeit, die gegebenen Antworten nachzuvollziehen. Ich habe dir in meiner Antwort die Lösung zur a) auf dem Silbertablett serviert, wie man so schön sagt, aber du hast das offensichtlich gar nicht gelesen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Sa 19.07.2014 | | Autor: | hippias |
Entweder uebersehe ich hier eine Besonderheit bei den in Frage stehenden Funktionen oder der Hinweis ist absolut wertlos und irrefuehrend. Denn die Loesung einer Gleichung $f(x)= c$ hat i.a. rein gar nichts mit der Gleichung $f'(x)= 0$ zu tun. Oder anschaulicher gesagt: wo der Graph von $f$ die Gerade $y= c$ schneidet hat nichts mit den Stellen zu tun, an denen $f$ Steigung $=0$ hat.
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