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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:03 So 30.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | a) Prüfe,auf welchen Bereichen die hyperbolischen Funktionen [mm] sinhx:=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2} [/mm] und [mm] coshx:=\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] umkehrbar sind! (Hinweis:Eine Funktion ist über einem Intervall umkehrbar,wenn sie dort streng monoton steigt oder fällt)
b) Zeige,dass Arsinh [mm] x:=ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] und Arcosh [mm] x:=ln(x+\wurzel{x^{2}-1}) [/mm] die Umekehrfunktionen zu den Hyperbelfunktionen aus (a) sind. |
Hallo ^^
Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,komme aber nicht mehr weiter.
Eigentlich müsste ich ja zuerst die b) machen um die a) machen zu können,also hab ich mit der b) angefangen:
Ich hab einfach mal versucht,die Umkehrfunktion zu bilden,aber da stimmt was nicht und ich weiß nicht was ich falsch mache:
[mm] sinhx:=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}
[/mm]
[mm] y=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}
[/mm]
Auflösen nach x:
[mm] 2y=e^{x}-e^{-x}
[/mm]
lnsy=2x
lny=x
Vertauschen der Variablen:
lnx=y
Das ist aber falsch,könnt ihr mir sagen,wo mein Fehler liegt?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 So 30.11.2008 | | Autor: | tedd |
beachte, dass
$ [mm] ln(e^{x}-e^{-x})\not=ln(e^{x})-ln(e^{-x}) [/mm] $
ich würde so vorgehen:
$ [mm] 2y=e^{x}-e^{-x} [/mm] $ [mm] |*e^x
[/mm]
$ [mm] 2*e^x*y=(e^x)^2-1 [/mm] $
$ [mm] 0=(e^x)^2-2*e^x*y-1
[/mm]
dann kannst du das [mm] e^x [/mm] substituieren und erhälst eine quadratische Gleichung die du mit der p/q-Formel lösen kannst.
Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 So 30.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> beachte, dass
>
>
> [mm]ln(e^{x}-e^{-x})\not=ln(e^{x})-ln(e^{-x})[/mm]
>
> ich würde so vorgehen:
>
>
> [mm]2y=e^{x}-e^{-x}[/mm] [mm]|*e^x[/mm]
>
> [mm]2*e^x*y=(e^x)^2-1[/mm]
>
> $ [mm]0=(e^x)^2-2*e^x*y-1[/mm]
>
> dann kannst du das [mm]e^x[/mm] substituieren und erhälst eine
> quadratische Gleichung die du mit der p/q-Formel lösen
> kannst.
>
Vielen dank erst mal,wenn ich so vorgehe,wie du es beschreibst berechne ich nach der pq-Formel
[mm] y\pm\wurzel{y^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}\pm\wurzel{(\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}+1} [/mm] berechnen
Ich kann jetzt noch [mm] (\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2} [/mm] ausmulziplizieren und hab [mm] e^{2x}+e^{-2x}+1,aber [/mm] irgendwie bringt mich das nicht weiter ???
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 So 30.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Jetzt hab ichs verstanden,vielen dank für die gute Erklärung.
Mein Problem liegt jetzt nur noch bei der a),ich weiß nicht genau wie ich überprüfen soll,auf welchen Bereichen [mm] sinhx:=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2} [/mm] und [mm] coshx:=\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] umkehrbar sind ???
lg
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Hallo Mandy,
da steht doch in der Aufgabenstellung ein dicker, fetter Hinweis 
Ich werfe noch ein Stichwort ein:
Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung ...
Aber das steht eigentlich auch im Hinweis: ".... wenn sie streng monoton steigt/fällt"
Groschen gefallen?
LG
schschuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 30.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> da steht doch in der Aufgabenstellung ein dicker, fetter
> Hinweis
>
> Ich werfe noch ein Stichwort ein:
>
> Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung ...
>
> Aber das steht eigentlich auch im Hinweis: ".... wenn sie
> streng monoton steigt/fällt"
>
> Groschen gefallen?
>
Ach stimmt ja,die gute alte Ableitung^^
Also wenn f'(x)>0 ist,ist die Funktion streng monoton steigend und wenn f'(x)<0,dann ist die Funktion streng monoton fallend,
Die Ableitung von sinhx ist sinh'(x)=cosh'(x) und das ist >0 also ist die Funktion streng monoton steigend,aber ich weiß ja nicht auf welchem Bereich,aber da f'(x) eh nicht <0 werden kann ist sie überall streng monoton steigen und überall umkehrbar.
Seh ich das richtig so?
lg
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Hallo Mandy,
> > Hallo Mandy,
> >
> > da steht doch in der Aufgabenstellung ein dicker, fetter
> > Hinweis
> >
> > Ich werfe noch ein Stichwort ein:
> >
> > Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung ...
> >
> > Aber das steht eigentlich auch im Hinweis: ".... wenn sie
> > streng monoton steigt/fällt"
> >
> > Groschen gefallen?
> >
>
> Ach stimmt ja,die gute alte Ableitung^^
>
> Also wenn f'(x)>0 ist,ist die Funktion streng monoton
> steigend und wenn f'(x)<0,dann ist die Funktion streng
> monoton fallend, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Ableitung von sinhx ist [mm] sinh'(x)=cosh\red{'}(x) [/mm]
ohne "Strich" !! [mm] $\sinh'(x)=\cosh(x)$
[/mm]
> und das ist
> >0 also ist die Funktion streng monoton steigend,aber ich
> weiß ja nicht auf welchem Bereich,aber da f'(x) eh nicht <0
> werden kann ist sie überall streng monoton steigen und
> überall umkehrbar.
> Seh ich das richtig so?
ganz genau, der [mm] $\sinh$ [/mm] ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] umkehrbar.
Wie sieht's nun mit dem [mm] $\cosh$ [/mm] aus?
>
> lg
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 30.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
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> ganz genau, der [mm]\sinh[/mm] ist auf ganz [mm]\IR[/mm] umkehrbar.
>
> Wie sieht's nun mit dem [mm]\cosh[/mm] aus?
>
> >
Der cosh ist auch auf ganz [mm] \IR [/mm] umkehrbar?
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Hallo nochmal,
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> Der cosh ist auch auf ganz [mm]\IR[/mm] umkehrbar?
Nein, seine Ableitung ist ja [mm] $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
[/mm]
Und das ist doch nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] >0 oder <0
Für $x<0$ ist [mm] $\cosh(x)$ [/mm] streng monoton fallend, für $x>0$ streng monoton steigend und für $x=0$ ist [mm] $\cosh(x)=1$
[/mm]
Schaue dir mal den Graphen von [mm] $\cosh(x)$ [/mm] an ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 30.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo nochmal,
>
>
> >
> > Der cosh ist auch auf ganz [mm]\IR[/mm] umkehrbar?
>
> Nein, seine Ableitung ist ja [mm]\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/mm]
>
> Und das ist doch nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] >0 oder <0
>
> Für [mm]x<0[/mm] ist [mm]\cosh(x)[/mm] streng monoton fallend, für [mm]x>0[/mm] streng
> monoton steigend und für [mm]x=0[/mm] ist [mm]\cosh(x)=1[/mm]
>
> Schaue dir mal den Graphen von [mm]\cosh(x)[/mm] an ...
>
Hab ich gemacht,heißt das,wenn eine Ableitung an einer Stelle 1 ist,dass die Funktion an der Stelle nicht umkehrbar ist ?
lg
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Hallo Mandy!
> heißt das,wenn eine Ableitung an einer Stelle 1 ist,
> dass die Funktion an der Stelle nicht umkehrbar ist ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nimm mal das einfache Gegenbeispiel: $y \ = \ x$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo nochmal,
>
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> >
> > Der cosh ist auch auf ganz [mm]\IR[/mm] umkehrbar?
>
> Nein, seine Ableitung ist ja [mm]\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/mm]
>
> Und das ist doch nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] >0 oder <0
>
> Für [mm]x<0[/mm] ist [mm]\cosh(x)[/mm] streng monoton fallend, für [mm]x>0[/mm] streng
> monoton steigend und für [mm]x=0[/mm] ist [mm]\cosh(x)=1[/mm]
>
Ich versteh nicht so ganz,warum der an x=0 nicht umkehrbar ist,eigentlich dürfte er dann für alle negativen Werte nicht umkehrbar sein oder?
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo nochmal,
> >
> >
> > >
> > > Der cosh ist auch auf ganz [mm]\IR[/mm] umkehrbar?
> >
> > Nein, seine Ableitung ist ja [mm]\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/mm]
> >
> > Und das ist doch nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] >0 oder <0
> >
> > Für [mm]x<0[/mm] ist [mm]\cosh(x)[/mm] streng monoton fallend, für [mm]x>0[/mm] streng
> > monoton steigend und für [mm]x=0[/mm] ist [mm]\cosh(x)=1[/mm]
> >
>
> Ich versteh nicht so ganz,warum der an x=0 nicht umkehrbar
> ist,eigentlich dürfte er dann für alle negativen Werte
> nicht umkehrbar sein oder?
Der [mm]\cosh\left(x\right)[/mm] ist nur auf bestimmten Intervallen umkehrbar.
So ist er auch im Intervall [mm]\left]-\infty,0\right][/mm] umkehrbar,
da er dort streng monoton ist.
Natürlich ist er auch im Intervall [mm]\left[0,\infty\right[[/mm] umkehrbar,
da er dort ebenfalls streng monoton ist.
>
> lg
Gruß
MathePower
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