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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 18.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | a) Untersuchung, ob für die Funktion f: [0, [mm] \pi [/mm] ] -> [mm] \IR: [/mm] x -> [mm] cos(x)^3 [/mm] auf dem Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] eine Umkehrabbildung f^-1: f [mm] ([o,\pi]) [/mm] -> [mm] [0,\pi] [/mm] existiert.
b) Falls die Umkehrabbildung existiert und f^⁻1 in f(x0) differenzierbar ist, berechnen sie die Ableitung. |
So ich hab mal begonnen:
a) Zunächsteinmal muss ich ja untersuchen ob überhaupt eine Umkehrabbildung existiert.
Dabei ist ja die Frage ob die Funktion x -> [mm] cos(x)^3 [/mm] bijektiv ist im geschlossenen Intervall von [mm] [0,\pi]
[/mm]
Ich hätte jetzt gedacht..es ist weder surjektiv noch injektiv also auch nicht bijektiv und so existiert keine Umkehrabbildung..
Jedoch könnte man dann ja nicht weiterrechnen...
Wäre die Umkehrabbildung
y = 1 / [mm] cos(x)^3 [/mm] ?
Vielen Dank für jegliche Hilfe, wie man bei solchen Aufgaben vorgeht...würde das ganze gerne verstehen..
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Die Funktion [mm]f[/mm] ist die Verkettung zweier Funktionen:
[mm]x \mapsto t = \cos x \mapsto y = t^3 = \cos^3 x[/mm]
Es gilt also
[mm]f = g \circ h \ \ \text{mit} \ \ g(t) = t^3 \, , \ h(x) = \cos x[/mm]
Jetzt überlege zunächst: Wohin bildet [mm]h[/mm] das Intervall [mm][0,\pi][/mm] ab. Ist diese Abbildung eineindeutig? Gibt es also zu jedem Bild nur ein Urbild? Um die Frage zu beantworten, genügt ein Blick auf den Graphen der Cosinusfunktion.
Und im nächsten Schritt ist dann zu untersuchen, wohin [mm]g[/mm] das Bildintervall von [mm]h[/mm] abbildet und ob diese Abbildung eineindeutig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 18.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
Okay...also in dem Intervall gibt es zu jedem Bild nur ein Urbild -> injektiv
Aber ist es auch Surjektiv? Dazu müsste es ja alle reelen Zahlen annhemen oder nicht?
Da f: [mm] [0,\pi] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ??
Vielen Dank
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> Okay...also in dem Intervall gibt es zu jedem Bild nur ein
> Urbild -> injektiv
>
> Aber ist es auch Surjektiv? Dazu müsste es ja alle reelen
> Zahlen annhemen oder nicht?
Nein. Die Bildmenge muss nicht ganz [mm] \IR [/mm] sein.
"Surjektiv" bezieht sich nur auf die konkret
vorliegende Bildmenge (Wertebereich). Für die
Teilfunktion h (Cosinus, definiert auf [mm] [0..\pi] [/mm] ist
dies z.B. nur das Intervall [-1..+1] .
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 18.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
Okay und da die Funktion im Bereich von [-1,1] alle Werte annehmen kann für das angegeben Intervall ist es auch surjektiv.
Also bijektiv trifft sowohl für cos(x) als auch [mm] cos(x)^3 [/mm] zu..
Zur Aufgabe b)
Hätte ich folgendes gedacht:
y = [mm] cos(x)^3
[/mm]
x = 1 / [mm] cos(y)^3
[/mm]
Nun nehme ich die Funktion:
g'(y) = 1 / f'(x)
g'(y) = [mm] \bruch{1}{3(-sinx)^2}
[/mm]
einsetzen für x
g'(y) = [mm] \bruch{1}{3(-sin(cos(y)^3)^2}
[/mm]
Ist dass die vorgehensweise vom Prinzip?
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> Okay und da die Funktion im Bereich von [-1,1] alle Werte
> annehmen kann für das angegeben Intervall ist es auch
> surjektiv.
>
> Also bijektiv trifft sowohl für cos(x) als auch [mm]cos(x)^3[/mm]
> zu..
>
> Zur Aufgabe b)
>
> Hätte ich folgendes gedacht:
>
> y = [mm]cos(x)^3[/mm]
>
> x = 1 / [mm]cos(y)^3[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Richtig aufgelöst: [mm] x=arccos(\wurzel[3]{y})
[/mm]
(wobei ausnahmsweise auch Kubikwurzeln aus negativen Zahlen
zugelassen werden sollen, z.B. [mm] \wurzel[3]{-0.125}=-0.5 [/mm] )
> Nun nehme ich die Funktion:
>
> g'(y) = 1 / f'(x)
...mit g meinst du also die Umkehrfunktion von f
> g'(y) = [mm]\bruch{1}{3(-sinx)^2}[/mm]
Bestimme zuerst die korrekte Ableitung der Funktion f !
(Kettenregel beachten)
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 19.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
nochmal
b)
y = [mm] cos(x)^3
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{y} [/mm] = cos(x)
x = [mm] arcos(\wurzel[3]{y})
[/mm]
Nun Ableiten:
arcos(x) abgeleitet [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1-x²}}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1-x²)}} [/mm] * [mm] (\wurzel[3]{x)} [/mm] * 1/3 x^(-2/3)
f'(x) = [mm] \bruch{-(\wurzel[3]{x}}{\wurzel{1-x²}} [/mm] *1/3 x^(-2/3)
korrekt? bzw...bin muss es heißen X' =...y.. so dass ich am Ende für y dann y= cos(x)³ einsetzen kann?
Bin etwas verwirrt..
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> nochmal
> b)
>
> y = [mm]cos(x)^3[/mm]
>
> [mm]\wurzel[3]{y}[/mm] = cos(x)
>
> x = [mm]arcos(\wurzel[3]{y})[/mm]
>
> Nun Ableiten:
>
> arcos(x) abgeleitet [mm]\bruch{-1}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{-1}{\wurzel{1-x²)}}[/mm] * [mm](\wurzel[3]{x)}[/mm] * 1/3
> x^(-2/3)
>
> f'(x) = [mm]\bruch{-(\wurzel[3]{x}}{\wurzel{1-x²}}[/mm] *1/3
> x^(-2/3)
>
> korrekt? bzw...bin muss es heißen X' =...y.. so dass ich
> am Ende für y dann y= cos(x)³ einsetzen kann?
>
> Bin etwas verwirrt..
Hallo zocca21,
ich würde schon die Formel [mm] g'(y)=\frac{1}{f'(x)} [/mm] mit [mm] g=f^{-1} [/mm] verwenden.
Es ist
[mm] f'(x)=3*cos^2(x)*(-sin(x)) [/mm]
Also folgt:
[mm] g'(y)=\frac{1}{3*cos^2(x)*(-sin(x)) }=\frac{-1}{3*sin(x)*cos^2(x)} [/mm]
Falls ich die Aufgabe richtig verstanden habe, war
[mm] \left(f^{-1}\right)'\left(f(x_0)\right) [/mm] gefragt für den Fall, dass [mm] x_0 [/mm] gegeben sei.
Das Ergebnis wäre dann (falls ich die Aufgabe nicht falsch
interpretiert habe) :
[mm] $\left(f^{-1}\right)'\left(f(x_0)\right) =\frac{-1}{3*sin(x_0)*cos^2(x_0)}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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