Umkehrfunktionen (Intervalle) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Stinki |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo,
ich bin gerade dabei meine Facharbeit über Umkehrfunktionen zu schreiben. Und dazu habe ich noch einige Fragen, die mir hoffentlich hier beantwortet werden können.
1. Frage: Wie schreibe ich genau, dass ich ein Intervall auf eine Funktion anwenden möchte? Also, wie verknüpfe ich sozusagen das Intervall mit der Funktion?
2. Frage: Wie heißt die Umkehrfunktion, Ich habe da schon mehrere widersprüchliche Schreibweisen gelesen ( f^-1(x) oder f('quer')(x) )?
3. Frage: Wenn die Funktion f(x) nicht monoton steigend/ fallend ist, kann die Umkehrfunktion ja erstmal nicht eindeutig definiert werden. Also muss ich ein Intervall bilden. Aber worauf wende ich das an, auf f(x) oder auf die Umkehrfunktion f^-1(x)? Vom logischen denken her, müsste ich das ja auf f(x) anwenden, aber dann taucht das ja gar nicht nicht mehr in f^-1(x) auf, und somit würde das ja wieder nicht gehen, oder?
Beispiel: Wenn f(x) = sin(x) ist, ist die Umkehrfunktion f^-1(x) = arcsin(x). Jetzt brauch ich ja ein Intervall, da keine Monotonie vorliegt. Dabei habe ich an [-(Pi/2), (Pi/2)] gedacht. So, wenn ich das jetzt auf f(x) anwende, und die Umkehrfunktion bilde dann taucht dieses Intervall ja nicht mehr in der Umkehrfunktion auf. Und auch wenn es auftauchen würde, dann hätte es ja keinen nutzen mehr, weil f^-1(x) von y = -1 bis 1 pendelt.
Frage 5: Wozu dienen mir Umkehrfunktionen, was wird im "richitgen Leben" damit berechnet, was will man damit ausdrücken, wozu dienen sie?
Sooo... habe fertig ;)
Ich bedanke mich schoneinmal für eure Antworten.
mfg, Stinki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Mi 01.03.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag S....i (kein origineller nickname)
> Hallo,
> ich bin gerade dabei meine Facharbeit über Umkehrfunktionen
> zu schreiben. Und dazu habe ich noch einige Fragen, die mir
> hoffentlich hier beantwortet werden können.
>
>
> 1. Frage: Wie schreibe ich genau, dass ich ein Intervall
> auf eine Funktion anwenden möchte? Also, wie verknüpfe ich
> sozusagen das Intervall mit der Funktion?
Ein Intervall kann man nicht auf eine Fkt. anwenden! Das ist semantisch falsch! Eine Funktion bildet eine Menge in eine andere ab, und Intervalle sind Mengen (von Zahlen nämlich). Man schreibt dann z. B.
f: [mm] I_{1} \to I_{2}
[/mm]
oder
f: [mm] I_{1} \to \IR
[/mm]
je nach Lage der Dinge.
> 2. Frage: Wie heißt die Umkehrfunktion, Ich habe da schon
> mehrere widersprüchliche Schreibweisen gelesen ( f^-1(x)
> oder f('quer')(x) )?
[mm] f^{-1} [/mm] ist durchaus üblich.
> 3. Frage: Wenn die Funktion f(x) nicht monoton steigend/
> fallend ist, kann die Umkehrfunktion ja erstmal nicht
> eindeutig definiert werden.
Eine Funktion, die nicht eindeutig def. werden kann, ist keine Fkt.
> Also muss ich ein Intervall
> bilden. Aber worauf wende ich das an, auf f(x) oder auf die
> Umkehrfunktion f^-1(x)?
S. o. wg. der Ausdrucksweise. Ich suche mir ein Intervall, auf dem f monoton ist.
> Vom logischen denken her, müsste
> ich das ja auf f(x) anwenden, aber dann taucht das ja gar
> nicht nicht mehr in f^-1(x) auf, und somit würde das ja
> wieder nicht gehen, oder?
Wenn f auf [mm] I_{1} [/mm] monoton ist und [mm] I_{2} [/mm] das Bild von [mm] I_{1} [/mm] unter f ist, dann geht
[mm] f^{-1}: I_{2} \to I_{1}
[/mm]
> Beispiel: Wenn f(x) = sin(x) ist, ist die Umkehrfunktion
> f^-1(x) = arcsin(x). Jetzt brauch ich ja ein Intervall, da
> keine Monotonie vorliegt. Dabei habe ich an [-(Pi/2),
> (Pi/2)] gedacht.
Das ist OK.
> So, wenn ich das jetzt auf f(x) anwende,
> und die Umkehrfunktion bilde dann taucht dieses Intervall
> ja nicht mehr in der Umkehrfunktion auf. Und auch wenn es
> auftauchen würde, dann hätte es ja keinen nutzen mehr, weil
> f^-1(x) von y = -1 bis 1 pendelt.
Versuch das jetzt mal in die von mir vorgeschlagene Sprechweise zu
bringen. Wie sieht der Graph der Umkehrfkt. aus?
> Frage 5: Wozu dienen mir Umkehrfunktionen, was wird im
> "richitgen Leben" damit berechnet, was will man damit
> ausdrücken, wozu dienen sie?
Eine (historische) Anwendung ist das Rechnen mit Logarithmen. Das funktioniert nur, weil [mm] e^{x} [/mm] und [mm] 10^{x} [/mm] Umkehrfunktionen haben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Stinki |
(Danke für die schnelle Antwort)
> Wenn f auf $ [mm] I_{1} [/mm] $ monoton ist und $ [mm] I_{2} [/mm] $ das Bild von $ [mm] I_{1} [/mm] $ >unter f ist, dann geht
>$ [mm] f^{-1}: I_{2} \to I_{1} [/mm] $
Da hab ich jetzt nicht ganz verstanden, wie das gemeint ist. Also, den ersten Teil schon, bis zum "und".
Sollen $ [mm] I_{2} [/mm] $ die y-Werte von f sein?
(Sorry, aber Intervalle sind für mich absolutes Neuland.)
Wenn meine Vermutung richtig ist, dann gebe ich also immer 2 Intervalle an, einmal für die y- und einmal für die x-Werte (wenn notwendig)?
Für mein Beispiel würde dann also für f(x)= sin(x) gelten:
$ [mm] I_{1} [/mm] :[- [mm] \bruch{ \pi}{2}, \bruch{ \pi}{2}]$
[/mm]
$ [mm] I_{2} [/mm] :[{- 1},{1}]$
f: $ [mm] I_{1} \to I_{2} [/mm] $
und für $ [mm] f^{-1} [/mm] $
f: $ [mm] I_{2} \to I_{1} [/mm] $
wobei $ [mm] I_{2} [/mm] $ eigentlich nur für $ [mm] f^{-1} [/mm] $ nötig ist?
mfg, Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Fr 03.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Christian!
> > Wenn f auf [mm]I_{1}[/mm] monoton ist und [mm]I_{2}[/mm] das Bild von [mm]I_{1}[/mm]
> >unter f ist, dann geht
> >[mm] f^{-1}: I_{2} \to I_{1}[/mm]
>
> Da hab ich jetzt nicht ganz verstanden, wie das gemeint
> ist. Also, den ersten Teil schon, bis zum "und".
> Sollen [mm]I_{2}[/mm] die y-Werte von f sein?
Ja genau.
> (Sorry, aber Intervalle sind für mich absolutes Neuland.)
> Wenn meine Vermutung richtig ist, dann gebe ich also immer
> 2 Intervalle an, einmal für die y- und einmal für die
> x-Werte (wenn notwendig)?
>
> Für mein Beispiel würde dann also für f(x)= sin(x) gelten:
>
> [mm]I_{1} :[- \bruch{ \pi}{2}, \bruch{ \pi}{2}][/mm]
> [mm]I_{2} :[{- 1},{1}][/mm]
>
> f: [mm]I_{1} \to I_{2}[/mm]
>
> und für [mm]f^{-1}[/mm]
>
> f: [mm]I_{2} \to I_{1}[/mm]
>
> wobei [mm]I_{2}[/mm] eigentlich nur für [mm]f^{-1}[/mm] nötig ist?
Das sieht doch sehr gut aus! Meld dich wieder, wenn du in Schwierigkeiten kommst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Christian,
> (Danke für die schnelle Antwort)
>
> > Wenn f auf [mm]I_{1}[/mm] monoton ist und [mm]I_{2}[/mm] das Bild von [mm]I_{1}[/mm]
> >unter f ist, dann geht
> >[mm] f^{-1}: I_{2} \to I_{1}[/mm]
>
> Da hab ich jetzt nicht ganz verstanden, wie das gemeint
> ist. Also, den ersten Teil schon, bis zum "und".
> Sollen [mm]I_{2}[/mm] die y-Werte von f sein?
genau: man nennt eine Funktion gelegentlich auch eine Abbildung, die den Zahlen aus dem Definitionsbereich [mm] $I_1$ [/mm] eindeutig Zahlen aus dem Wertebereich [mm] $I_2$ [/mm] zuordnet oder noch
anders gesagt: die Zahlen aus [mm] $I_1$ [/mm] werden auf [mm] $I_2$ [/mm] "abgebildet".
Das sind alles gleichwertige Aussagen!
> (Sorry, aber Intervalle sind für mich absolutes Neuland.)
> Wenn meine Vermutung richtig ist, dann gebe ich also immer
> 2 Intervalle an, einmal für die y- und einmal für die
> x-Werte (wenn notwendig)?
Intervalle sind doch nur "Ein zusammenhängendes Stück" aus der großen Zahlenmenge $R$.
Nenn es doch mal anders:
[mm] $I_1$ [/mm] ist der Definitionsbereich der Funktion f,
[mm] $I_2$ [/mm] ist der Wertebereich der Funktion f.
Wenn du jetzt die Umkehrfunktion betrachtest, so wird jetzt der Wertebereich von f zum Definitionsbereich von [mm] $f^{-1}$ [/mm] und entsprechend der Definitionsbereich von f zum Wertebereich von [mm] $f^{-1}$.
[/mm]
> Für mein Beispiel würde dann also für f(x)= sin(x) gelten:
>
> [mm]I_{1} :[- \bruch{ \pi}{2}, \bruch{ \pi}{2}][/mm]
> [mm]I_{2} :[{- 1},{1}][/mm]
>
> f: [mm]I_{1} \to I_{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und für [mm]f^{-1}[/mm]
>
> f: [mm]I_{2} \to I_{1}[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
muss heißen: [mm] $f^{-1}: I_{2} \to I_{1}$
[/mm]
>
> wobei [mm]I_{2}[/mm] eigentlich nur für [mm]f^{-1}[/mm] nötig ist?
Was soll das denn nun wieder heißen?
natürlich ist [mm] $I_2$ [/mm] für [mm] $f^{-1}$ [/mm] nötig, es ist ja sein Definitionsbereich!
Vielleicht gefällt dir diese Schreibweise besser:
$f: [mm] D_f \to W_f \text{ und } f^{-1}: D_{f^{-1}} \to W_{f^{-1}}$
[/mm]
dann ist zwangläufig [mm] $D_f [/mm] = [mm] W_{f^{-1}} \text{ und } W_f [/mm] = [mm] D_{f^{-1}}$
[/mm]
Jetzt klarer?
Gruß informix
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Hallo Christian,
>
> Frage 5: Wozu dienen mir Umkehrfunktionen, was wird im
> "richitgen Leben" damit berechnet, was will man damit
> ausdrücken, wozu dienen sie?
>
Funktionen sind Zuordnungen, das wirst du wissen.
eine Menge Benzin wird an der Tankstelle eine Menge Geld zugeordnet.
Bei sparsamen Leuten stellt sich nun die Frage, wieviel Super bekomme ich für eine bestimmte Summe Geldes?
$f : [mm] \text{Benzin} \to \text{Geld} \gdw f^{-1}: \text{Geld} \to \text{Benzin}$
[/mm]
An der Tankstelle ist diese Zuordnung i.d.R. linear:
je mehr Geld, desto mehr Super.
Es gibt aber jede Menge anderer Zuordnungen, die nicht linear sind, sich aber dennoch umkehren lassen:
je mehr Arbeiter, desto kürzer die Bauzeit (eines Hauses).
Das Haus soll in einer bestimmten Zeit fertig werden: wieviel Handwerker brauche ich dann (gleichzeitig!)?
Mehr schreibe ich jetzt nicht, sonst schreibe ich deine Facharbeit - und nicht du.
Aber Einzelfragen kannst du natürlich weiterhin stellen.
Gruß informix
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