Umkehrfunktionen ermitteln < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | F: [mm] \IR \to [/mm] [0,1] sei die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen X. Die Quasi-Inverse [mm] F^{-}:(0,1) \to \IR [/mm] von F ist definiert durch
[mm] F^{-}(p):= [/mm] inf [mm] \{x \in \IR | p \le F(x) \} [/mm] für 0<p<1.
Bestimme die Quasi-Inverse [mm] F^{-} [/mm] explizit für
a) L(X) = B(1,p')
b) L(X) = Expo( [mm] \lambda [/mm] ) |
Hallo,
ich habe hier schon einen Ansatz zumindest zu b):
Die Exponentialverteilung ist: [mm] f_{ \lambda } [/mm] (x) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] e^{- \lambda * x}
[/mm]
Rechnung:
y = [mm] \lambda [/mm] * [mm] e^{-\lambda * x} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{y}{\lambda} [/mm] = [mm] e^{- \lambda * x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ln [mm] (\bruch{y}{\lambda}) [/mm] = [mm] -\lambda [/mm] * x
[mm] \Rightarrow -\bruch{ln (\bruch{y}{\lambda}}{\lambda} [/mm] = x
[mm] \Rightarrow -\bruch{1}{\lambda} [/mm] * [mm] ln(\bruch{y}{\lambda}) [/mm] = x
[mm] \Rightarrow -\bruch{1}{\lambda} [/mm] * ln(1-y) = x
Also wäre die Quais-Inveres: [mm] F^{-} [/mm] (y) = - [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] * ln(1-y)
Ist die Rechnung soweit richtig?
Zu a) habe ich aber ein Problem, also erstens weiß ich nicht genau, was für eine Verteilung gemeint ist, da B(1,p) bei uns im Skript die Bernoulli-Verteilung ist, aber bei B(1,p') ja noch dieser Strich dran ist...
Trotzdem gehe ich von der Bernoulli-Verteilung aus, deren Funktion ist doch: [mm] P(x)=p^{x} [/mm] * [mm] q^{1-x}
[/mm]
Da bin ich jetzt wie folgt vorgegangen:
y = [mm] p^{x} [/mm] * [mm] q^{1-x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] p^{x} [/mm] * [mm] \bruch{q}{q^{x}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \bruch{p^{x} * q}{q^{x}}
[/mm]
Und da fängt es für mich an kompliziert zu werden, denn ich weiß nicht, wie ich nach x auflösen soll...
Könnt ihr mir da helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mi 12.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Johanna,
> Hallo,
>
> ich habe hier schon einen Ansatz zumindest zu b):
> Die Exponentialverteilung ist: [mm]f_{ \lambda }[/mm] (x) = [mm]\lambda[/mm]
> * [mm]e^{- \lambda * x}[/mm]
> Rechnung:
> y = [mm]\lambda[/mm] * [mm]e^{-\lambda * x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{y}{\lambda}[/mm] = [mm]e^{- \lambda * x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ln [mm](\bruch{y}{\lambda})[/mm] = [mm]-\lambda[/mm] * x
> [mm]\Rightarrow -\bruch{ln (\bruch{y}{\lambda}}{\lambda}[/mm] = x
> [mm]\Rightarrow -\bruch{1}{\lambda}[/mm] * [mm]ln(\bruch{y}{\lambda})[/mm] =
> x
> [mm]\Rightarrow -\bruch{1}{\lambda}[/mm] * ln(1-y) = x
>
> Also wäre die Quais-Inveres: [mm]F^{-}[/mm] (y) = -
> [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm] * ln(1-y)
> Ist die Rechnung soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu a) habe ich aber ein Problem, also erstens weiß ich
> nicht genau, was für eine Verteilung gemeint ist, da B(1,p)
> bei uns im Skript die Bernoulli-Verteilung ist, aber bei
> B(1,p') ja noch dieser Strich dran ist...
Wir haben hier ein Notationsproblem. Die Quasiinverse ist fuer alle
p mit $0<p<1$ definiert. Hiervon soll das feste $p'$ der Bernoulli-Verteilung
unterschieden werden.
>
> Trotzdem gehe ich von der Bernoulli-Verteilung aus, deren
> Funktion ist doch: [mm]P(x)=p^{x}[/mm] * [mm]q^{1-x}[/mm]
Bitte etwas genauer. Setze $q=p'$ (um das bloede ' loszuwerden).
Dann ist [mm] $P(X=x)=q^x(1-q)^{1-x}$ [/mm] fuer $x=0$ oder 1 und $P(X=x)=0$ sonst.
> Da bin ich jetzt wie folgt vorgegangen:
> y = [mm]p^{x}[/mm] * [mm]q^{1-x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = [mm]p^{x}[/mm] * [mm]\bruch{q}{q^{x}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = [mm]\bruch{p^{x} * q}{q^{x}}[/mm]
Hier bist du vollkommen auf dem Holzweg. Zeichne mal die Verteilungsfunktion [mm] $F(x)=P(X\le [/mm] x)$ und melde dich dann noch einmal.
>
> Und da fängt es für mich an kompliziert zu werden, denn ich
> weiß nicht, wie ich nach x auflösen soll...
> Könnt ihr mir da helfen?
>
>
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Johie |
Danke erstmal für die schnelle Kontrolle. :)
So zu a)
Also, wenn ich den Graphen anhand der Verteilungsfunktion zeichne, dann wäre das doch eine Hyperbel, die die y-Achse zwischen 0 und 1 schneidet und unbegrenzt nach oben laufen kann... Und die zwischen -x und 0 nur y=0 annimmt....
Ich hoffe, dass kann man verstehen, aber würde das denn so ungefähr stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mi 12.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Danke erstmal für die schnelle Kontrolle. :)
>
> So zu a)
> Also, wenn ich den Graphen anhand der Verteilungsfunktion
> zeichne, dann wäre das doch eine Hyperbel, die die y-Achse
> zwischen 0 und 1 schneidet und unbegrenzt nach oben laufen
> kann... Und die zwischen -x und 0 nur y=0 annimmt....
> Ich hoffe, dass kann man verstehen, aber würde das denn so
> ungefähr stimmen?
Nein. Betrachte eine Bernoulli-Verteilung mit $q=1/4$.
Die Verteilungsfunktion ist links von $x=0$,
bei $x=0$ hat sie eine Treppe der Hoehe 3/4 und
bleibt zwischen 0 und 1 auf der Hoehe 3/4.
Bei $x=1 hat sie einen weiteren Sprung auf 1 und
bleibt ab x=1 konstant auf der Hoehe 1.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Johie |
Ok... Aber was sagt mir das jetzt bzgl. der Umkehrfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 12.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ok... Aber was sagt mir das jetzt bzgl. der Umkehrfunktion?
Gut, da du dich anscheinend weigerst zu zeichnen, betrachten wir mal das
erste Bildchen ![[]](/images/popup.gif) hier.
Es gilt beispielsweise [mm] $F^-(0.4)=5=\inf\{x\mid x\in\IR,0.4\le F(x)\}$
[/mm]
und analog $F^-(0.2)=4$, usw.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Johie |
Ich hatte es gezeichnet nach deiner Anleitung... Habe p=1/4 in die Gleichung [mm] q^{x}*(1-p)^{1-x} [/mm] eingesetzt und habe bei x=0 auch 3/4 raus und dort meinen Treppenstrich gezeichnet. Bei x=1 habe ich 1/4 raus, somit geht sie auf 1, aber wieso bleibt sie denn ab da an konstant?
Und dein Beispiel kann ich durch Ablesen aus der Zeichnung nachvollziehen, aber rechnerisch nicht umsetzen...
Ich habe das Gefühl, dass ich irgendetwas gerade übersehe, dass zum Grundverständnis gebraucht wird...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mi 12.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ich hatte es gezeichnet nach deiner Anleitung... Habe p=1/4
> in die Gleichung [mm]q^{x}*(1-p)^{1-x}[/mm] eingesetzt und habe bei
> x=0 auch 3/4 raus und dort meinen Treppenstrich gezeichnet.
> Bei x=1 habe ich 1/4 raus, somit geht sie auf 1, aber wieso
> bleibt sie denn ab da an konstant?
>
Du wuerfelst einmal und zaehlst aus wieviel Sechsen erscheinen. Sei X die Anzahl der Sechsen. Wie gross ist [mm] $P(X\le [/mm] -1)$, [mm] $P(X\le [/mm] 0)$, [mm] $P(X\le [/mm] 0,5)$, [mm] $P(X\le [/mm] 1.5)$, [mm] $P(X\le [/mm] 4711)$?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Johie |
Es tut mir wirklich Leid, aber jetzt habe ich gar keine Ahnung mehr, bin gerade nur noch verwirrt und habe eine mega dickes Brett vor dem Kopf...
Vielleicht können wir noch mal kurz von vorne anfangen... Also ich hatte meine diverse Gleichung, die ich auch wegen Notationsproblemen nicht anwenden durfte...
So daraufhin hast du die Gleichung [mm] P(X=x)=q^x(1-q)^{1-x} [/mm] genannt. Warum kann ich denn das nicht genauso ausrechnen wie bei der Exponentialverteilung?
Und was bringt mir dann die Zeichnung?
Für die habe ich übrigens q=1/4 in die von dir vorgegebene Gleichung eingesetzt und dann in die Skizze eingetragen... Weiß im Moment aber eh nicht, ob ich das richtig gemacht habe... Da ich wie gesagt, nicht verstehe, wieso das plötzlich konstant 1 bleibt...
Deine letzte Antwort hat mich jetzt so verwirrt, dass ich gar nicht mehr weiß, was ich daraus schließen soll...
Ich würde das gerne verstehen, da ich davon ausgehen, dass das ja eigentlich nicht so schwer sein kann, dass mit der Exponentialverteilung war ja auch recht einfach...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mi 12.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin ,
die Exponentialverteilung ist deswegen "einfach", da sich die
Verteilungsfunktion [mm] $F(x)=1-\exp[-\lambda [/mm] x]$ so leicht invertieren
laesst.
(Ich sehe gerade, dass deine Herleitung doch nicht korrekt ist. Du hast
die *Dichte* [mm] $f(x)=\lambda\exp[-\lambda [/mm] x]$ als Ausgangspunkt gewaehlt, musst
jedoch die *Verteilungsfunktion* verwenden: [mm] $1-\exp[-\lambda [/mm] x]=y$
liefert dein Ergebnis $ [mm] F^{-} [/mm] (y) = - [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] * [mm] \ln(1-y)$.
[/mm]
Habe mich von dem korrekten Ergebnis blenden lassen. Vielleicht ruehren
daher unsere Schwierigkeiten)
Hier findest du Verteilungsfunktioenen verschiedener Exponentialverteilungen
(das zweite Bild mit den monoton steigenden Funktionen) Anschaulich
berechnest du $F^-(p)$, indem du auf der y-Achse bei p startest und eine
Parallele zur x-Achse einzeichnest. Die Zahl x, die auf der x-Achse zum
Schnittpunkt von Parallele und Graph gehoert ist $F^-(p)$, hier also
$x=- [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] * [mm] \ln(1-p)$.
[/mm]
Also musst du auch bei der Bernoulli-Verteilung von der
Verteilungsfunktion ausgehen. Es gibt in diesem Zusammenhang zwei
wichtige Begriffe:
1) Wahrscheinlichkeitsfunktion: [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x)=P(X=x)$, also
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}1-q&,&\mbox{wenn x=0} \\q&,&\mbox{wenn x=1} \\0&,&\mbox{sonst} \end{matrix}\right.
[/mm]
f kannst du zur Berechnung von $F^-(p)$ vergessen, genauso wie du die Dichte der Exponentialverteilung vergessen kannst, siehe oben.
2) Verteilungsfunktion: [mm] $F:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $F(x)=P(X\le [/mm] x)$, also
[mm] F(x)=\left\{
\begin{matrix}
0&,&\mbox{wenn } x<0 \\
1-q&,&\mbox{wenn } 0\le x<1 \\
1&,&\mbox{wenn } 1\le x
\end{matrix}\right.
[/mm]
Zeichnest du $F$, so siehst du drei Parallelen zur Abszissen: Links von
$x=0$ ist die erste mit der Hoehe $y=0$, bei $x=0 beginnt die zweite auf
der Hoehe $y=1-q$, die bei $x=1$ endet. Die letzte hat die Hoehe $y=1$
und geht bis Unendlich. Das ist fast dasselbe wie in dem Link von heute
Nachmittag, jedoch ist hier Verteilungsfunktion als Treppenfunktion zu
zeichnen mit zwei Treppen bei $x=0$ und $x=1$.
Willst du $F^-(p)$ bestimmen, so machst du es wie oben beschrieben f"ur die
Exponentialverteilung. Das geht fast immer gut, es sei denn, du waehlst
$p=1-q$. Dann landest du naemlich genau auf der ersten Treppe, und es
gilt $F(x)=1-q$ fuer alle [mm] $x\in[0,1)$. [/mm] Nun sagt aber die Definition
[mm] $F^-(p)=F^-(1-q)=\inf\{x\mid 1-q\le F(x)\}=0$.
[/mm]
Wir halten fest
[mm] F^-(p)=\left\{
\begin{matrix}
0&,&\mbox{wenn } p\le 1-q \\
1&,&\mbox{wenn } 1-q
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Johie |
Ok, jetzt ist einiges klarer, habe es wirklich falsch gemacht...
Also habe jetzt erstmal den Fehler mit der Exponentialverteilung korrigiert, spare es mir jetzt die Rechnung noch mal aufzuschreiben, da sie recht ähnlich zu dem vorigen Versuch ist.
Zur Bernoulli-Verteilung, wie gesagt, habe die Treppenfunktion jetzt endlich verstanden, mir war vorher nicht klar, dass ich von der Verteilungsfunktion ausgehe, dann ist das ja alles sehr einleuchtend, wunder mich gerade selber, dass ich das nicht gemerkt habe. Und nun find ich [mm] F^{-}(p) [/mm] auch verständlich, bin halt vorher von was Falschem ausgegangen, so hätte ich das nie verstanden...
Also ein nettes Dankeschön :)
PS: Kann man den Status eigentlich nachträglich noch ändern? Sollte ja gar nicht als Frage gepostet werden...
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