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| Aufgabe | Sei [mm] $f(x)\,:=\, x^7 [/mm] +2x-1$.
Da $f$ streng monoton ist, existiert die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, [/mm] ist aber nicht explizit darstellbar.
Wie lautet [mm] $\left(f^{-1}\right)'(2)$ [/mm] ? |
Hallo.
Ich soll die o.g Aufgabe berechnen.
Mein Lösungsweg bisher:
[mm] f(x)=x^7-2x-1=y
[/mm]
[mm] f^{-1}: [/mm] y [mm] \mapsto [/mm] x
[mm] ((f^{-1})\circ{f})(x)=x [/mm]
[mm] (f^{-1}){f(x)}=x [/mm] |()'
[mm] (f^{-1})'(y)*f'(x)=1
[/mm]
[mm] (f^{-1})'(y)=\bruch{1}{f'(x)}=\bruch{1}{f‘(f^{-1}(y)}
[/mm]
[mm] (f^{-1})'(y) [/mm] soll für y=2 herausgefunden werden.
Es gilt also:
[mm] (f^{-1})'(2)=\bruch{1}{?}
[/mm]
Da man nicht weiß, was [mm] f^{-1} [/mm] ist, kann man dennoch den dazugehörigen x-Wert berechnen.
[mm] y=x^7-2x+1=2
[/mm]
[mm] 1=x^7-2x
[/mm]
Ist das der richtige Weg, diese Aufgabe anzugehen?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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> Sei [mm]f(x)\,:=\, x^7 +2x-1[/mm].
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> Da [mm]f[/mm] streng monoton ist, existiert die Umkehrfunktion
> [mm]f^{-1}:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/mm], ist aber nicht
> explizit darstellbar.
>
> Wie lautet [mm]\left(f^{-1}\right)'(2)[/mm] ?
Hallo Masseltof,
die Gleichung f(x)=2 kann im vorliegenden Fall leicht
gelöst werden, da es eine ganzzahlige Lösung gibt.
LG Al-Chw.
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Hallo und danke für die Antwort.
Mir ist irgendwie leider etwas spät aufgefallen, dass f(x)=2 für x=1 gilt.
Denn [mm] 1^7+2-1=3-1=2=y.
[/mm]
Wenn nun x=2 ist, so gilt doch für
[mm] (f^{-1})'(y)=\bruch{1}{f'(2)}
[/mm]
Und durch Ableiten erhält man:
[mm] f'(x)=7x^6+2
[/mm]
[mm] f'(1)=7*1^6+2=7+2=9
[/mm]
So gilt für [mm] (f^{-1})(y)=\bruch{1}{9}
[/mm]
Ist das so richtig?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Mir ist irgendwie leider etwas spät aufgefallen, dass
> f(x)=2 für x=1 gilt.
> Denn [mm]1^7+2-1=3-1=2=y.[/mm]
>
> Wenn nun x=2 ist, so gilt doch für
>
> [mm](f^{-1})'(y)=\bruch{1}{f'(2)}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm](f^{-1})'(\blue{2})=\bruch{1}{f'(\blue{1})}[/mm]
> Und durch Ableiten erhält man:
> [mm]f'(x)=7x^6+2[/mm]
> [mm]f'(1)=7*1^6+2=7+2=9[/mm]
>
> So gilt für [mm](f^{-1})(y)=\bruch{1}{9}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja, das ist so richtig.
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Gruss
MathePower
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