Umkehrsatz /f(U) offen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 So 11.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen und [mm] f:U->\IR^{n} [/mm] eine stetig differenzierbare
Funktion derart, dass die Jacobi-Matrix Df(a) für alle [mm] a\in [/mm] U invertierbar ist.
Zeigen Sie, dass f(U) offen in [mm] \IR^{n} [/mm] ist. |
Hallo,
soll man hier den Satz über die offene Abbildung benutzen?
EDIT:
Ich habe in einem Lehrbuch folgendes geefunden:
* Umkehrsatz angewendet auf die Aufgabe ergibt, dass es eine Umgebung [mm] U_{0}\subset [/mm] U von a gibt, so daß [mm] f(U_{0})(\subset [/mm] f(U)) eine offene Umgebung von f(a) ist. Daraus folgt, dass f(U) offen ist.
Ich verstehe nicht, warum:
(i) [mm] f(U_{0}) [/mm] offen ist
(ii) warum gilt die Implikation * [mm] \Rightarrow [/mm] f(U) offen ?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] offen und [mm]f:U->\IR^{n}[/mm] eine stetig
> differenzierbare
> Funktion derart, dass die Jacobi-Matrix Df(a) für alle
> [mm]a\in[/mm] U invertierbar ist.
> Zeigen Sie, dass f(U) offen in [mm]\IR^{n}[/mm] ist.
> Hallo,
>
> soll man hier den Satz über die offene Abbildung
> benutzen?
>
> EDIT:
> Ich habe in einem Lehrbuch folgendes geefunden:
>
> * Umkehrsatz angewendet auf die Aufgabe ergibt, dass es
> eine Umgebung [mm]U_{0}\subset[/mm] U von a gibt, so daß
> [mm]f(U_{0})(\subset[/mm] f(U)) eine offene Umgebung von f(a) ist.
> Daraus folgt, dass f(U) offen ist.
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> Ich verstehe nicht, warum:
> (i) [mm]f(U_{0})[/mm] offen ist
Das ist eine Aussage des Umkehrsatzes !!
> (ii) warum gilt die Implikation * [mm]\Rightarrow[/mm] f(U) offen
Wir haben: zu jedem b [mm] \in [/mm] f(U) gibt es eine offene Umgebung von b , die in f(U) enthalten ist.
Das heißt doch gerade, dass f(U) offen ist.
FRED
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> Gruß
> Igor
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