Umkugel vom Rhombendodekaeder < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Do 10.11.2011 | | Autor: | SaylE |
| Aufgabe | | Berechne vektoriell die Umkugel eines Rhombendodekaeders (http://de.wikipedia.org/wiki/Rhombendodekaeder) mit Kantenlänge 8 cm |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Umkugel-eines-Rhombendodekaeders
Könnt ihr mir mit der Aufgabe irgendwie weiterhelfen? Ich habe echt keinen Plan, wie ich anfangen soll und was ich überhaupt alles machen muss. Ich vermute nur, dass die Rauten im 45 Grad-Winkel zueinander stehen...bringt mich das weiter, oder ist die Vermutung überhaupt richtig?
Ich wäre euch sehr dankbar für jeden Lösungsversuch/Tip.
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Hallo SayIE, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechne vektoriell die Umkugel eines Rhombendodekaeders
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Rhombendodekaeder) mit
> Kantenlänge 8 cm
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Umkugel-eines-Rhombendodekaeders
>
> Könnt ihr mir mit der Aufgabe irgendwie weiterhelfen? Ich
> habe echt keinen Plan, wie ich anfangen soll und was ich
> überhaupt alles machen muss. Ich vermute nur, dass die
> Rauten im 45 Grad-Winkel zueinander stehen...bringt mich
> das weiter, oder ist die Vermutung überhaupt richtig?
Nein, diese Vermutung ist falsch.
Die Aufgabe ist ein bisschen gemein, denn wenn ich recht sehe, berührt die Umkugel gar nicht alle Ecken. Es gibt ja zwei verschiedene Typen von Ecken, nämlich solche, wo drei Flächen zusammenstoßen, und solche, wo vier Flächen zusammenstoßen. Die ersteren bilden die Ecken eines Würfels, die anderen die eines Oktaeders.
Du musst also herausfinden, welcher dieser beiden Eckentypen weiter vom Mittelpunkt des Körpers entfernt ist. Das ist aber nicht sehr schwierig.
Versuch doch mal, einen Zusammenhang zwischen der Kantenlänge und den Eckenpositionen zu bestimmen. Am einfachsten ist es wohl, von einem günstig im Koordinatensystem positionierten Würfel auszugehen (also Mittelpunkt im Ursprung, Kanten in Koordinatenrichtung) und dann die Oktaederecken hinzuzufügen. Sie liegen dann alle auf den Koordinatenachsen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Sa 12.11.2011 | | Autor: | SaylE |
Ne, ich hatte meinen Lehrer extra noch mal gefragt und der hat es mir versichert, dass es eine Umkugel gibt, die alle Ecken berührt. Und um die Oktaederecken aufs Koordinatenkreuz einzutragen, muss ich erst mal wissen in was für nem Winkel die Seiten zueinander stehen, denn sonst kann ich doch gar nicht wissen wo die Ecken sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Sa 12.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Dein Lehrer irrt sich!
> Ne, ich hatte meinen Lehrer extra noch mal gefragt und der
> hat es mir versichert, dass es eine Umkugel gibt, die alle
> Ecken berührt. Und um die Oktaederecken aufs
> Koordinatenkreuz einzutragen, muss ich erst mal wissen in
> was für nem Winkel die Seiten zueinander stehen, denn
> sonst kann ich doch gar nicht wissen wo die Ecken sind.
Das kannst Du einfach berechnen.
Nehmen wir mal die Würfelecken hier: (1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (1,-1,-1), (-1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), (-1,-1,-1)
Dann betrachten wir mal zwei der Oktaederecken. Die müssen so liegen, dass ihre Verbindungslinie gerade eine Würfelkante schneidet, sonst kannst Du da nämlich keine Rhombenfläche bilden.
Ich nehme die Oktaederecken (c,0,0) und (0,c,0). Die Verbindungsgerade hat die Gleichung z=0; x+y=c. Und sie muss durch den Punkt (1,1,0) gehen. Also ist c=2.
Damit sind die Oktaederecken diese: (0,0,2), (0,0,-2), (0,2,0), (0,-2,0), (2,0,0), (-2,0,0).
Die Entfernung der Würfelecken vom Mittelpunkt beträgt [mm] \wurzel{3}, [/mm] die der Oktaederecken eben genau 2. Die Umkugel geht also durch die Oktaederecken, aber nicht durch die Würfelecken.
Jetzt musst Du ja eigentlich nur noch die Kantenlänge des Körpers bestimmen. Das sollte nicht schwierig sein.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Sa 12.11.2011 | | Autor: | SaylE |
Doch es ist schwierig, da ich durch dein ganzes System nicht durchblicke :/ xD
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