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Umrechnung: Formel mit Kreisfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:34 Sa 25.08.2018
Autor: sancho1980

Hallo!

Angeblich gilt:

[mm] \wurzel{2}(cos(\bruch{\pi}{6})) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm]

und

[mm] \wurzel{2}(sin(\bruch{\pi}{6})) =\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]

Aber wie kommt man darauf?

Danke und Gruß!

        
Bezug
Umrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:48 Sa 25.08.2018
Autor: angela.h.b.


> Hallo!

>

> Angeblich gilt:

>

> [mm]\wurzel{2}(cos(\bruch{\pi}{6}))[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm]

Hallo,

es ist [mm] cos(\bruch{\pi}{6})=\bruch{\wurzel{3}}{2}, [/mm]

und folglich ist [mm] \wurzel{2}(cos(\bruch{\pi}{6})) =\wurzel{2}*\bruch{\wurzel{3}}{2} =\wurzel{2}*\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}*\wurzel{2}} =\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}} =\wurzel{\bruch{3}{2}}. [/mm]

Damit sollte sich die zweite Frage auch geklärt haben.

LG Angela

>

> und

>

> [mm]\wurzel{2}(sin(\bruch{\pi}{6})) =\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]

>

> Aber wie kommt man darauf?

>

> Danke und Gruß!


Bezug
        
Bezug
Umrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:43 Sa 25.08.2018
Autor: sancho1980

Also nach dem du geschrieben hast, dass [mm] cos(\bruch{\pi}{6}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] war der Rest natürlich klar.
Ich hatte vermutet, es hinge irgendwie mit dem Faktor [mm] \wurzel{2} [/mm] zu tun, dass man das Ergebnis so elegant schreiben kann.
Allgemein würde ich wirklich gern mal wissen wie man da allgemein vorgeht. In meinem Buch sind einige Werte von Sinus und Kosinus aufgelistet mit dem Hinweis, man könne sie "leicht" zeigen. Bei einem Wert wird das beispielhaft getan. [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] ist nun ausgerechnet nicht gelistet. Schaust du bei sowas in eine Formelsammlung? Oder weißt du diese Werte auswendig? Oder stellst du dir jedesmal den Einheitskreis vor und folgerst blitzartig, welchen "schönen" Wert [mm] cos(\bruch{\pi}{6}) [/mm] hat, oder wie muss ich mir das vorstellen? Ich könnte natürlich auch in eine Formelsammlung schauen, aber das kommt mir irgendwie wie "Schummeln" vor.

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Umrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:29 Sa 25.08.2018
Autor: chrisno

Es ist ab und zu hilfreich, ein paar Werte auswendig zu wissen. Das ist relativ wenig Aufwand
[mm] $\pmat{ 0 & \br{\pi}{6} & \br{\pi}{4} & \br{\pi}{3} & \br{\pi}{2} \\ 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ \br{1}{2}\sqrt{0} & \br{1}{2}\sqrt{1} & \br{1}{2}\sqrt{2} & \br{1}{2}\sqrt{3} & \br{1}{2}\sqrt{4} & }$ [/mm]
In der letzten Zeile stehen die Werte des Sinus der Winkel oberhalb.
Zur Herleitung für den Wert bei [mm] $30^\circ$: [/mm]
Zeichne ein gleichseitiges Dreieck, zeichne eine Höhe ein. Dann hast du einen Winkel mit [mm] $30^\circ$ [/mm] und ein rechtwinkliges Dreieck.

Bezug
                
Bezug
Umrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Sa 25.08.2018
Autor: Al-Chwarizmi


>   $ [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] $ ist nun ausgerechnet nicht gelistet. Schaust du bei sowas in eine Formelsammlung? Oder weißt du diese Werte auswendig?

Hallo Sancho

Die Winkel, die man mittels Zirkel und Lineal ganz leicht
konstruieren kann, sind:

90°: rechter Winkel (durch Halbierung des gestreckten Winkels von 180°)
45°: rechter Winkel halbiert; gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck
60°: Winkel des gleichseitigen Dreiecks
30°: 60° halbiert

Mittels des Satzes von Pythagoras kann man an den
rechtwinkligen Dreiecken, die durch Halbierung eines
Quadrates (durch eine Diagonale) bzw. des gleichseitigen
Dreiecks (durch eine seiner Höhen) alle Seitenverhältnisse
und damit alle trigonometrischen Funktionswerte (sin, cos, tan)
für die Winkel 45°, 60°, 30° exakt mittels Wurzelausdrücken
darstellen. Die entsprechenden Werte kann man sich dann
merken - oder besser noch: sich die Art und Weise ihrer
Herleitung einprägen, damit man sie allenfalls jederzeit
wieder selber berechnen kann.

Nach meiner Ansicht gehört diese Aufgabe zu jeder Einführung
in die elementare Trigonometrie dazu.
Durch weitere Winkelhalbierungen sowie durch die Anwendung
der Symmetrieeigenschaften lassen sich dann z.B. auch die
Werte für Winkel wie 15°, 75°, 120°, 135°, 165° etc. exakt
mittels Wurzeln darstellen.

LG ,  Al-Chw.




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