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Umschreibung Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:51 Sa 08.07.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Wieso ist [mm] \summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n} [/mm] - 2 [mm] \summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2N} [/mm] ?


Wäre euch wie immer für eine Antwort dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Umschreibung Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:57 Sa 08.07.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo zusammen!
>  
> Wieso ist [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}[/mm] - 2 [mm]\summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2N}[/mm]
> ?

Hallo,

so stimmt es nicht, richtig ist

[mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}[/mm] - 2 [mm]\summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2\red{n}}[/mm] .


Schreib Dir doch [mm] \summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] [/mm] mal für z.B. N=5 aus.
Ich denke, so kommst Du der Sache auf die Spur.

LG Angela


>  
>
> Wäre euch wie immer für eine Antwort dankbar!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Umschreibung Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Sa 08.07.2017
Autor: X3nion


> Hallo,
>  
> so stimmt es nicht, richtig ist
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}[/mm] - 2 [mm]\summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2\red{n}}[/mm]
> .
>  
>
> Schreib Dir doch [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm][/mm]
> mal für z.B. N=5 aus.
>  Ich denke, so kommst Du der Sache auf die Spur.
>  
> LG Angela


Hallo Angela,

ups ja da habe ich mich verschrieben, aber ach Mensch klar .. Danke für den Tipp!
es wird ja wie folgt summiert für N=3: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 und das kann man auch schreiben als 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 - 2* 1/2 - 2* 1/4 - 2* 1/6,


Aber Frage: ändert diese Umschreibung nicht das Konvergenzverhalten?
Es soll [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} [/mm] = log2 mithilfe der Euler-Mascheronischen Konstante gezeigt werden.

Viele Grüße,
X3nion

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Bezug
Umschreibung Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Sa 08.07.2017
Autor: leduart

Hallo
bei der zweiten Darstellung kann man die Konvergenz nicht mehr zeigen, da beide summen divergieren . das ändert aber an der Darstellung bis N nichts.
Wenn du die Summen  als Treppenfunktion unter 1/x auffasst
wird die erste durch ln(2N) das zweite durch ln(N) angenähert, damit ln(2N)-ln(N)=ln(2N/N)=ln2 und den Unterschied zur Summe gibt eben deine Euler-Mascheronischen Konstante  an.
Gruß ledum

Bezug
                                
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Umschreibung Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:49 So 09.07.2017
Autor: X3nion

Hi ledum / leduart ( wie möchtest du genannt werden? ;-) )

Ich habe es nun verstanden, vielen Dank auch dir!

Viele Grüße,
X3nion

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Bezug
Umschreibung Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Sa 08.07.2017
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > so stimmt es nicht, richtig ist
>  >  
> > [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=1}^{2N} \frac{1}{n}[/mm] - 2 [mm]\summe_{n=1}^{N} \frac{1}{2\red{n}}[/mm]
> > .
>  >  
> >
> > Schreib Dir doch [mm]\summe_{n=1}^{2N} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}[/mm][/mm]
> > mal für z.B. N=5 aus.
>  >  Ich denke, so kommst Du der Sache auf die Spur.
>  >  
> > LG Angela
>  
>
> Hallo Angela,
>  
> ups ja da habe ich mich verschrieben, aber ach Mensch klar
> .. Danke für den Tipp!
>  es wird ja wie folgt summiert für N=3: 1 - 1/2 + 1/3 -
> 1/4 + 1/5 - 1/6 und das kann man auch schreiben als 1 + 1/2
> + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 - 2* 1/2 - 2* 1/4 - 2* 1/6,

also mal "mit dem Summenzeichen allgemeiner symbolisch gerechnet": Für jedes
$N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt

    [mm] $\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n-1} \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{N}(-1)^{2k-1}*\frac{1}{2k}+ \sum_{m=1}^{N}(-1)^{2m-2}*\frac{1}{2m-1}= -\,\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k}+ \sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m-1}$ [/mm]

    $= [mm] \left(\red{+}\,\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k}+ \sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m-1}\right)\;\;\red{-}2*\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2k}$ [/mm]

    [mm] $=\sum_{k=1}^{2N} \frac{1}{k}\;\;-2*\sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m}$ [/mm]

  

>
> Aber Frage: ändert diese Umschreibung nicht das
> Konvergenzverhalten?

Na, gedanklich denkst Du da schon einen Schritt zu weit. Aus obigem folgt:

    [mm] $\lim_{N \to \infty} \left(\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}\right)=\lim_{N \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{2N} \frac{1}{k}\;\;-2*\sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m}\right)$ [/mm]

Das ist überhaupt kein Problem!!

"Gedanklich" wolltest Du aber sicher schon einen Schritt weiter gehen
und hast an sowas wie

    [mm] $...\red{=\lim_{N \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{2N} \frac{1}{k}\right)\;\;-\lim_{N \to \infty}\left(2*\sum_{m=1}^{N}\frac{1}{2m}\right)}$ [/mm]

gedacht: Das darfst Du natürlich NICHT! (Die Harmonische Reihe divergiert!!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Umschreibung Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:48 So 09.07.2017
Autor: X3nion

Hi Marcel,

Danke auch für deinen Beitrag, ich habe es nun kapiert! :-)

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
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