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Hallo
ich habe gesehen, wie
1/(k(k - 1))
umgestellt wurde in
1/(k - 1) - 1/k
Mich würde interessieren, nach welchen Regeln man das macht. Weiß da einer weiter?
Grüße,
Martin
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Hallo Martin,
das geht mittels der sog. [mm] \bold{Partialbruchzerlegung}
[/mm]
[mm] \frac{1}{k(k-1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k-1}
[/mm]
[mm] =\frac{A(k-1)}{k(k-1)}+\frac{Bk}{k(k-1)} [/mm] gleichnamig gemacht
[mm] =\frac{Ak-A+Bk}{k(k-1)}=\frac{\red{k(A+B)}\green{-A}}{k(k-1)}
[/mm]
Nun macht man einen Koeffizientenvergleich mit [mm] \frac{1}{k(k-1)}:
[/mm]
Also damit Gleichheit besteht muss gelten:
(1) [mm] \green{-A}=1 [/mm] und
(2) [mm] \red{A+B}=0
[/mm]
Also A=-1 und B=1
Damit ist [mm] \frac{1}{k(k-1)}=\frac{-1}{k}+\frac{1}{k-1}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Cool, danke
hat zwar 'ne Weile gedauert...ok, aber hab in der Zwischenzeit noch was Schlimmeres gefunden, kannst du mir da vielleicht auch helfen? Und zwar:
(1 + 1/(n - [mm] 1))^n [/mm] : (1 + 1/n)^(n + 1)
=
(1 + [mm] 1/(n^2 [/mm] - [mm] 1))^n [/mm] * n/(n + 1)
Schwer, oder?
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Hallo nochmal,
ich denke, das geht 
einfach intuitiv umformen:
[mm] \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n:\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n-1}{n-1}+\frac{1}{n-1}\right)^n:\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^{n+1}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n}{n-1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n}{n-1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^1
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n}{n-1}\cdot{}\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n^2\red{-1+1}}{n^2-1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)
[/mm]
[mm] =\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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