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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Umwandlung Dual -> Dezimal
Umwandlung Dual -> Dezimal < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Umwandlung Dual -> Dezimal: periodische Dualzahlen ;)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 So 24.06.2007
Autor: belimo

Aufgabe
Wandeln Sie die folgenden periodischen Dualbrüche in gewöhnliche Brüche im Dezimalsystem um:

c) [mm] 0.111\overline{100} [/mm]

Hallo Leute

Ich steh bei der genannten Aufgabe ziemlich an. Ich meine, wie ich 'normale', also nicht periodische Dualzahlen in Dezimalzahlen umwandle, ist mir ja klar (http://www.elektronik-kompendium.de/sites/dig/1109101.htm)

Aber wenn ich das für periodische nach dem selben System rechne, dann rechne ich ewig, und genau ist es erst noch nicht ;-) Hat mir jemand einen Tipp? Danke schonmal im Voraus.

        
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Umwandlung Dual -> Dezimal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 So 24.06.2007
Autor: leduart

Hallo
Es ist im Zehnersystem das gleiche:
könntest du denn [mm]0.111\overline{100}[/mm] im Zehnersystem in einen Bruch verwandeln?
Hinweis [mm] 0.0\overline{1} [/mm] wäre1/90, [mm] 0,123\overline{12} [/mm] wäre 123/1000+12/99000 usw.
oder überleg dir, wie du deine Vorzahl, und wie deine Periode allein erzeugen könntest:
3. überleg was [mm] 0,000\overline{900}als [/mm] geometrische Reihe bedeutet, entsprechend [mm] 0000\overline{100}im [/mm] 2ersystem
Gruss leduart

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Umwandlung Dual -> Dezimal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 So 24.06.2007
Autor: belimo

Hallo Leduart

Danke erstmal für die schnelle Antwort.

Könntest du denn [mm] 0.111\overline{100} [/mm] im Zehnersystem in einen Bruch verwandeln?
Hinweis [mm] 0.0\overline{1} [/mm] wäre1/90, [mm] 0,123\overline{12} [/mm] wäre 123/1000+12/99000 usw.

Hm, stimmt das mit [mm] 0.0\overline{1} [/mm] = 1/90 habe ich irgendwann in der Grundschule mal gehört (lang ist's her) ;-) In meinem Kopf ist das quasi als 'Fact'. Wie ist denn der Umrechnungsfaktor im Dualsytem?

Leider komme ich mit deinen Hinweisen nicht wirklich weiter. Hast du mir weitere Tipps? (Die Lösung lautet übrigens [mm] \bruch{53}{56} [/mm] - habe aber wie gesagt keine Ahnung wie unser lieber Dozent darauf kommt ;-)

Gruss belimo



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Umwandlung Dual -> Dezimal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 So 24.06.2007
Autor: rabilein1

Ich weiß leider auch nicht, wie man im Dualsystem dividiert. Habe nur gerade heraus gefunden, dass sowohl für das Dualsystem als auch das Dezimalsystem gilt (und demzufolge höchstwahrscheinlich auch für alle anderen Systeme):

[mm] \bruch{1}{100-1}=0.\overline{01} [/mm]

Also wird es da schon eine Systematik drin geben.
  

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Umwandlung Dual -> Dezimal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 So 24.06.2007
Autor: leduart

Hallo belimo
in der "Grundschule" entdeckt man wohl mehr, dass [mm] 0,\overline{1}=1/9 0,\overline{01}=1/99 [/mm] usw.
DU aber o Studi hast geometrische Reihen gehabt und kannst
[mm] 0,111..=\summe_{i=1}^{\infty}(1/10)^i [/mm] direkt sehen ,-)
wenns das im 2-er system wär natürlich als
[mm] 0,111..=\summe_{i=1}^{\infty}(1/2)^i [/mm] =1
naja und was ist jetzt [mm] 0,000100100100...=2^{-3}*0,100100100..=2^{-3}*\summe_{i=1}^{\infty}?^i [/mm]
so das addierst du zu 0,111 was du hoffentlich direkt kannst.
Das Fragezeichen hab ich gelassen damits ne echte Eigenleistung wird![grins]
Gruss leduart


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Umwandlung Dual -> Dezimal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 So 24.06.2007
Autor: belimo

Ach so geht das ;-)

Mit diesem Summenzeugs war ich noch nie gut.

Ich kann aber zumindest schonmal deinen Erklärungen folgen. Quasi als Beweis die Lösung für das Fragezeichen:

[mm] ?=(\bruch{1}{100})^{j} [/mm] - stimmt das?

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Umwandlung Dual -> Dezimal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:52 Mo 25.06.2007
Autor: leduart

Hallo
wir sind doch im 2-er System also [mm] (2^{-3})^i [/mm] oder [mm] (1/8)^i [/mm]
und die geometrische Reihe muss man können! Auch Informatiker! die ist fast allgegenwärtig! sonst such in Wiki.
Gruss leduart

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Umwandlung Dual -> Dezimal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Mo 25.06.2007
Autor: rabilein1


> Die Lösung lautet
> übrigens [mm]\bruch{53}{56}[/mm] - habe aber wie gesagt keine Ahnung
> wie unser lieber Dozent darauf kommt

Es gibt einen "schönen Lösungsweg", aber ich bin da auch erst über drei Ecken hin gekommen.

Mach es mal zunächst im Dezimal-System:

Wie kann man [mm] 0.42\overline{51} [/mm] als Bruch ausdrücken?

Das sind [mm] \bruch{42}{10^{2}}+\bruch{51}{(10^{2}-1)*10^{2}} [/mm]

Und jetzt muss man das entsprechend auf deine Aufgabe aus dem Dualsystem übertragen - und dabei die einzelnen Komponenten ins Dezimalsystem übertragen. Dann ergibt sich:

[mm] 0.111\overline{100} [/mm] (Dual)= [mm] \bruch{7}{8}+\bruch{4}{56} [/mm] (Dezimal) = [mm] \bruch{53}{56} [/mm]

Die [mm] \bruch{4}{56} [/mm] ist dabei die Periode und ist [mm] \bruch{4}{(2^{3}-1)*2^{3}} [/mm] , wobei die 4 (Dezimal) dem 100 (Dual) entspricht.

Das Ganze ist zwar recht kompliziert, aber mit diesem Verfahren kann man jede Aufgabe dieser Art lösen.

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