Umwandlung in Koordinatenform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Do 12.10.2006 | | Autor: | JR87 |
| Aufgabe | | [mm] \varepsilon: \overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ -10 \\ 3} +s\vektor{4 \\ 2 \\ 1} +t\vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] |
Hallo,
diese Gleichung möchte ich jetzt in eine Koordinatenform umwandeln. Normalerweise gehe ich ja so vor:
I. x= 1+4s+2t
II. y=-10+2s+ t
III. z= 3+ s-2t
-----------------------
Gelcihung I. und II. rechne ich jetzt *(-2) um s zu eleminieren und die II. und III *(-4)
ich erhalte
II. x-2y = 21
III. x-4z = -11 + 10t
----------------------------
So das Problem ist die erste Gleichung, da habe ich kein t mehr drin, somit kann ich ja im nächsten Schritt nicht t eleminieren. Was mache ich jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Do 12.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach es dir doch einfacher und nutze das Kreuzprodukt.
Einen möglichen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] kann man mit dem Kreuzprodukt
[Dateianhang nicht öffentlich]
der beiden Richtungsvektoren bestimmen.
Also in deinem Fall
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}=\vektor{4\\2\\1}\times\vektor{2\\1\\-2}
[/mm]
[mm] =\vektor{-5\\10\\0}
[/mm]
Dann gilt
E: [mm] \vec{x}*\vektor{-5\\10\\0}=d
[/mm]
und [mm] d=\vektor{-5\\10\\0}*\vec{a}, [/mm] wobei [mm] \vec{a} [/mm] dein Stützvektor der Ebene ist.
Also [mm] d=\vektor{-5\\10\\0}*\vektor{1\\-10\\3}=-105
[/mm]
Also ist
[mm] E:\vec{x}*\vektor{-5\\10\\0}=-105
[/mm]
Und in Koordinatenform:
[mm] -5x_{1}+10x_{2}+0x_{3}=-105
[/mm]
[mm] \gdw -5x_{1}+10x_{2}=-105
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Do 12.10.2006 | | Autor: | JR87 |
Ja so ähnlich hab ich das auch im Buch gefunden, aber da wir die gelernten Verfahren anwenden sollen, will ich diese Verfahren ,welches ich beschrieben habe benutzen. Gibts da ne möglichkeit?
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du musst in Gleichung II und GLeichung III das t eliminieren
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Das Problem ist, dass viele Lehrer (so auch meine ehemalige Oberstufenlehrerin) das Kreuzprodukt ihren Schülern nicht beibringen und es auch nicht zulassen - warum auch immer...
Aber zum Nachrechnen empfiehlt sich das Kreuzprodukt auf jeden Fall.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 12.10.2006 | | Autor: | JR87 |
Auch wenn ich in der ersten Gleichung das t eliminiere verschwindet das s in der ersten Gleichung. Wie mach ich das nun?
Also ich hätte auch 3 Punkte
A ( 1/ -10/ 3)
B (5 / -8 / 4 )
C 3 / -9 / 1)
Lässt sich daraus eine Koordinatenform bauen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Do 12.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
denke deine frage ist beantwortet. nur soviel:
wenn ich gleichung I. + III. addiere
und dann 2*II. + III. erhalte ich
x+z = 4 + 5s (IV.) diese nehme ich mal (-1)
2y+z = -17 +5s (V.)
und dann addiere ich IV. + V.
-x - z +2y +z = -4 -5s -17 +5s
-x + 2y = -21 (VI.)
und wenn ich VI. z.b. mal -(1) nehme erhalte ich VIa.
und wenn ich VI. z.B. mal (-5) nehme erhalte ich VIb.
kein Kreuzprodukt notwendig... 
VIa.
x - 2y = 21
VIb.
5x - 10y = 105
lg
wolfgang
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Hallo ,
> [mm]\varepsilon: \overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ -10 \\ 3} +s\vektor{4 \\ 2 \\ 1} +t\vektor{2 \\ 1 \\ -2}[/mm]
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> Hallo,
> diese Gleichung möchte ich jetzt in eine Koordinatenform
> umwandeln. Normalerweise gehe ich ja so vor:
>
> I. x= 1+4s+2t
> II. y=-10+2s+ t
> III. z= 3+ s-2t
> -----------------------
>
> Gelcihung I. und II. rechne ich jetzt *(-2) um s zu
> eleminieren und die II. und III *(-4)
>
> ich erhalte
>
> II. x-2y = 21
> III. x-4z = -11 + 10t
> ----------------------------
>
> So das Problem ist die erste Gleichung, da habe ich kein t
> mehr drin, somit kann ich ja im nächsten Schritt nicht t
> eleminieren. Was mache ich jetzt?
nutze das Verfahren, das M.Rex vorgeschlagen hat - nur ohne das Kreuzprodukt:
Bestimme zu den beiden Richtungsvektoren
[mm] $\vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2}$
[/mm]
den gemeinsamen orthogonalen Vektor [mm] \vec{n}.
[/mm]
[mm] $\vec{u} \* \vec{n} [/mm] = 0$
[mm] $\vec{v} \* \vec{n} [/mm] = 0$
Eine Komponente von [mm] \vec{n} [/mm] kannst du frei wählen, wähle sie so, dass die anderen ganzzahlig werden.
Gruß informix
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Hallo JR87!
> [mm]\varepsilon: \overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ -10 \\ 3} +s\vektor{4 \\ 2 \\ 1} +t\vektor{2 \\ 1 \\ -2}[/mm]
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> Hallo,
> diese Gleichung möchte ich jetzt in eine Koordinatenform
> umwandeln. Normalerweise gehe ich ja so vor:
>
> I. x= 1+4s+2t
> II. y=-10+2s+ t
> III. z= 3+ s-2t
> -----------------------
>
> Gelcihung I. und II. rechne ich jetzt *(-2) um s zu
> eleminieren und die II. und III *(-4)
>
> ich erhalte
>
> II. x-2y = 21
> III. x-4z = -11 + 10t
> ----------------------------
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> So das Problem ist die erste Gleichung, da habe ich kein t
> mehr drin, somit kann ich ja im nächsten Schritt nicht t
> eleminieren. Was mache ich jetzt?
Du könntest weiter so vorgehen wie bisher. Wie könntest du also die Gleichung II mit der Gleichung III verrechnen, damit das t eleminiert wird? Na zum Beispiel indem du - umständlicher Weise - Gleichung III mit 0 erweiterst und zur Gleichung II hinzu addierst. Im Endeffekt würdest du als Koordinatengleichung der Ebene das erhalten was schon vorher dastand: x-2y = 21
Und genau dies ist die Koordinatengleichung für den vorliegenden Fall.
Wenn du dir die Lösung von M.Rex (-5x + 10y = -105) mal genauer ansiehst, wirst du feststellen, daß dies die gleiche Lösung ist wie die deinige, nur daß sie mit dem Faktor -5 erweitert ist.
Gruß,
Tommy
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