Umwandlung in Normalenform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Miala |
| Aufgabe | Formen Sie nachfolgende Ebenen F in Parameterform um:
F: [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 0} ]*\vektor{0,5 \\ 0,5 \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2} } [/mm] = 0 |
Hallo miteinander!
Im Prinzip verstehe ich, wie ich vorgehen muss, habe aber ein Problem im letzten Rechenschritt.
Hier erst einmal mein Rechenweg:
parameterfreie Darstellung der Ebene:
[mm] 0,5*x_{1} [/mm] + [mm] 0,5*x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}*x_{3} [/mm] = 0,5 + 0,5*5 = 3
vereinfacht:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] \wurzel{2}*x_{3} [/mm] = 6
Auflösen nach [mm] x_{1}:
[/mm]
[mm] x_{1}=6-x_{2}-\wurzel{2}*x_{3}
[/mm]
Jetzt möchte ich also die Ebene in Parameterschreibweise darstellen.
Ich weiß aber leider nicht genau, wie ich die Richtungsvektoren aus dem bisher gerechneten erschließen kann.
Als Ortsvektor würde ich [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] wählen...
die Gleichung beginnt also:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{u} [/mm] + [mm] \mu*\vec{v}
[/mm]
Hoffentlich kann mir einer von euch einen Tipp geben, wie ich [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] ermittle!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße,
Mia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Disap |
> Formen Sie nachfolgende Ebenen F in Parameterform um:
>
> F: [ [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 5 \\ 0} ]*\vektor{0,5 \\ 0,5 \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2} }[/mm]
> = 0
> Hallo miteinander!
Grüezi! ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Im Prinzip verstehe ich, wie ich vorgehen muss, habe aber
> ein Problem im letzten Rechenschritt.
> Hier erst einmal mein Rechenweg:
>
> parameterfreie Darstellung der Ebene:
>
> [mm]0,5*x_{1}[/mm] + [mm]0,5*x_{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}*x_{3}[/mm] = 0,5
> + 0,5*5 = 3
> vereinfacht:
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]\wurzel{2}*x_{3}[/mm] = 6
Rechnung in diesem Abschnitt ist ungültig
[mm] [s]$\br{\wurzel{2}}{2}$ [/mm] ist nicht [mm] $\wurzel{2}$, [/mm] sondern [mm] $\br{1}{\wurzel{2}}$[/s]
[/mm]
> Auflösen nach [mm]x_{1}:[/mm]
>
> [mm]x_{1}=6-x_{2}-\wurzel{2}*x_{3}[/mm]
>
> Jetzt möchte ich also die Ebene in Parameterschreibweise
> darstellen.
>
> Ich weiß aber leider nicht genau, wie ich die
> Richtungsvektoren aus dem bisher gerechneten erschließen
> kann.
> Als Ortsvektor würde ich [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 0}[/mm] wählen...
>
> die Gleichung beginnt also:
>
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda*\vec{u}[/mm] +
> [mm]\mu*\vec{v}[/mm]
>
> Hoffentlich kann mir einer von euch einen Tipp geben, wie
> ich [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] ermittle!
Alles schön und gut. Betrachten wir einmal die Situation, du hast den [mm] Ortsvektor:\vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] oder als Punkt A(6||0||0). Ebenfalls haben wir noch einen Punkt in der Hesseschen Normalenform (oben): B(1||5||0).
Such dir doch einfach noch einen dritten Punkt [mm] C(0||0||\wurzel{18}). [/mm] Nun hast du drei Punkte, aus denen du die Parameterform aufstellen kannst.
Aber du wolltest etwas anderes hören?
Schöne Grüße
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Miala |
Hallo!
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]\br{\wurzel{2}}{2}[/mm] ist nicht [mm]\wurzel{2}[/mm], sondern
> [mm]\br{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
Sehr vielen Dank für deine Antwort!!!Ich habe aber durchaus richtig vereinfacht und zwar habe ich durch 0,5 geteilt, sodass bei [mm] x_{3} [/mm] der Koeffizient [mm] \wurzel{2} [/mm] übrig bleibt.
Muss außerdem die [mm] x_{3}-Koordinate [/mm] in einem der Vektoren nicht auch einmal ungleich null sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Fr 25.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
> sodass bei [mm]x_{3}[/mm] der Koeffizient [mm]\wurzel{2}[/mm] übrig bleibt.
korrekt.
> Muss außerdem die [mm]x_{3}-Koordinate[/mm] in einem der Vektoren
> nicht auch einmal ungleich null sein?
Ja, hier schon. Die drei von Disap genannten Punkte liegen auf einer Geraden... ![[baeh]](/images/smileys/baeh.gif "[baeh]")
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Disap |
Au weija, das hatte ich ja ganz schön verpfuscht. Na ja, aber zumindest die Idee dahinter stimmt. Dennoch sorry für die Fehler.
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Fr 25.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Mia,
oder Du suchst zwei beliebige Vektoren, die zum Normalenvektor rechtwinklig stehen. Für die also gilt:
[mm] $\vec [/mm] n * [mm] \vex [/mm] u = 0$
Auch in solcher Gleichung kannst Du dann für [mm] $\vec [/mm] u$ zwei Komponenten frei wählen und die dritte berechnen.
Letztlich ist ja jeder Vektor, der "in der Ebene" liegt und senkrecht zum Normalenvektor steht verwendbar. Nur dürfen die beiden Richtungsvektoren natürlich nicht kollinear ("parallel") sein.
Schöne Grüße,
ardik
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