Unabhängigk. von Ereignissen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo zusammen,
Gegeben seien Ereignisse A, [mm] B_1, [/mm] ..., [mm] B_n.
[/mm]
Wir wissen, dass A (paarweise) unabhängig von jeder Menge der Form [mm] C_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap C_n [/mm] ist, wobei [mm] C_i [/mm] entweder [mm] B_i [/mm] ist oder das Komplement von [mm] B_i [/mm] ist.
Kann man von dieser Kenntniss darauf schliessen, dass A und C unabhängig sind für jedes C, welches in der von den Ereignissen [mm] B_1, [/mm] ..., [mm] B_n [/mm] erzeugten Sigma-Algebra liegt?
Alle Mengen der Form [mm] C_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap C_n [/mm] liegen natürlich in der Sigma-Algebra, aber eben noch viel mehr. Wie kann man zum Beispiel darauf schliessen, dass A und [mm] B_i [/mm] paarweise unabhängig sind?
Unser Stochastik-Professor hat beide Varianten (in Absatz 1 und 2) als Definition für "A ist unabhängig von [mm] B_1, [/mm] ..., [mm] B_n" [/mm] verwendet. Ich kann die Equivalenz jedoch noch nicht sehen.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Di 07.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Vilietha,
> Gegeben seien Ereignisse A, [mm]B_1,[/mm] ..., [mm]B_n.[/mm]
> Wir wissen, dass A (paarweise) unabhängig von jeder Menge
> der Form [mm]C_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap C_n[/mm] ist, wobei [mm]C_i[/mm] entweder [mm]B_i[/mm]
> ist oder das Komplement von [mm]B_i[/mm] ist.
>
> Kann man von dieser Kenntniss darauf schliessen, dass A und
> C unabhängig sind für jedes C, welches in der von den
> Ereignissen [mm]B_1,[/mm] ..., [mm]B_n[/mm] erzeugten Sigma-Algebra liegt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , es sind "sogar" [mm] $\sigma(\{A\})$ [/mm] und [mm] $\sigma(\{C_1 \cap\ldots\cap C_n: C_i=B_i\ \vee\ C_i=\overline{B_i}\})$ [/mm] unabhängig.
allerdings hier nur, da [mm] $\{C_1 \cap\ldots\cap C_n: C_i=B_i\ \vee\ C_i=\overline{B_i}\}$ [/mm] ein durchschnittsstabiles Mengensystem bildet.
> Alle Mengen der Form [mm]C_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap C_n[/mm] liegen
> natürlich in der Sigma-Algebra, aber eben noch viel mehr.
> Wie kann man zum Beispiel darauf schliessen, dass A und [mm]B_i[/mm]
> paarweise unabhängig sind?
Für $n=2$ als Beispiel würde das so folgen:
$A$ und [mm] $B_1\cap B_2$ [/mm] sind unabhängig, und $A$ und [mm] $B_1\cap \overline{B_2}$ [/mm] auch.
Außerdem sind [mm] $B_1\cap B_2$ [/mm] und [mm] $B_1\cap \overline{B_2}$ [/mm] disjunkt mit [mm] $(B_1\cap B_2)\mathaccent\cdot\cup(B_1\cap \overline{B_2})=B_1$
[/mm]
Dann gilt für
[mm] $P(A\cap B_1)$
[/mm]
[mm] $=P(A\cap((B_1\cap B_2)\mathaccent\cdot\cup (B_1\cap \overline{B_2})))$
[/mm]
[mm] $=P((A\cap B_1\cap B_2)\mathaccent\cdot\cup (A\cap B_1\cap \overline{B_2}))$
[/mm]
[mm] $=P(A\cap B_1\cap B_2)+P(A\cap B_1\cap \overline{B_2})$
[/mm]
$=P(A) [mm] P(B_1\cap B_2)+P(A)P(B_1\cap \overline{B_2})$
[/mm]
$=P(A) [mm] (P(B_1\cap B_2)+P(B_1\cap \overline{B_2}))$
[/mm]
$=P(A) [mm] P((B_1\cap B_2)\mathaccent\cdot\cup (B_1\cap \overline{B_2}))$
[/mm]
$=P(A) [mm] P(B_1)$
[/mm]
also die Unabhängigkeit von $A$ und [mm] $B_1$
[/mm]
> Unser Stochastik-Professor hat beide Varianten (in Absatz 1
> und 2) als Definition für "A ist unabhängig von [mm]B_1,[/mm] ...,
> [mm]B_n"[/mm] verwendet. Ich kann die Equivalenz jedoch noch nicht
> sehen.
Ich verstehe nicht ganz, was du meinst bzw. fragen willst.
Meinst du, dass dein Prof. (aus irgendeinem Grund) auf zwei Wegen gezeigt hat, dass $A$ und [mm] $B_i$ [/mm] unabhängig ist?
Die erste Variante wäre ja dann direkt, durch Ausnutzung der Voraussetzung, dass $A$ und [mm] $C_1\cap\C_n$ [/mm] unabhängig ist (wie ich es oben vorgerechnet habe).
Die zweite Variante wäre, wenn ich das richtig verstehe, die Ausnutzung der Tatsache, dass $A$ und [mm] $\mathcal{C}:=\sigma(\{C_1 \cap\ldots\cap C_n: C_i=B_i\ \vee\ C_i=\overline{B_i}\})$ [/mm] unabhängig sind. Wenn man das benutzen darf, dann folgt es natürlich sofort, denn mit
[mm] $B_1\cap B_2\in\mathcal{C}$ [/mm] und [mm] $B_1\cap \overline{B_2}\in\mathcal{C}$ [/mm] folgt ja sofort (für $n=2$)
[mm] $(B_1\cap B_2)\cup (B_1\cap \overline{B_2})=B_1\in\mathcal{C}$, [/mm] also $A$ und [mm] $B_1$ [/mm] unabhängig
(für allgemeines $n$ analog).
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Di 07.12.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Marc,
Zuerst einmal herzlichen Dank für deine ausführliche, und sehr hilfreiche Antwort! :)
Unser Prof hat als Defintion im Vorlesungsscript die Variante ohne Sigma-Algebra angegeben (also die mit den [mm] C_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap C_n). [/mm] Die Variante mit der Sigma-Algebra hat er auf einem Übungszettel angegeben. Diese zweite Definition hat mir eingeleuchtet, aber mir war es eben nicht gelungen zu zeigen, dass wenn man von der ersten Definition ausgeht, dies equivalent mit zweiten Definition ist. Wofür man ja zeigen muss, dass A auch in diesem Fall von allen [mm] B_i [/mm] unabhängig ist. Was du ja nun getan hast. (Mir aber nicht gelungen war...)
Hat mir wirklich sehr weitergeholfen! :)
Viele Grüße,
Vilietha
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