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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03

Aufgabe
Die Verteilung einer Zufallsvariable $X$ ist unendlich teilbar, falls für jedes $n [mm] \in [/mm] N$ existieren $n$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen [mm] $X_{n, 1}, \ldots, X_{n, n}$, [/mm] sodass $X$ und
[mm] $X_{n, 1}+\ldots+X_{n, n}$ [/mm] die gleiche Verteilung haben.
Zeigen Sie, dass die Poisson-Verteilung mit Parameter [mm] $\lambda [/mm] > 0$ unendlich teilbar ist. Geben Sie
eine ausführliche Begründung dafür an.

Hallöchen.
Wieder einmal stehe ich vor einer kleinern Herausforderung:)

Meine Idee war es den Satz, dass die Summe zweier Poisson-verteilter Zufallsvariablen mit den Parametern [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] wieder Poisson-verteilt ist, zu nutzen.
Also dass ich irgendwie zwei Poisonverteilte Zufallvariablen, bzw das [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] addiere  (Faltungsformel?) Und dies dann so umforme, dass ich es durch n teilen kann.

Allerdings weiß ich a) nicht, ob diese Idee Zielführend ist und b nicht, wie ich dies mathematisch korrekt umsetze.

Könnte mir Jemand mit der Idee, sollte sie an das Ziel führen weiterhelfen und wenn nicht, eine neue Idee liefern?

Liebe Grüße
Jule

        
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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Mo 20.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Idee war es den Satz, dass die Summe zweier
> Poisson-verteilter Zufallsvariablen mit den Parametern
> [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] wieder Poisson-verteilt ist, zu nutzen.

Zweier unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen.

Dein Ansatz ist richtig und zielführend.
Wenn [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] nun Poisson-verteilt zum selben Parameter  und unabhängig sind, wie ist dann [mm] $X_1 [/mm] + [mm] X_2$ [/mm] verteilt?

Wie ist denn dann [mm] $X_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n$ [/mm] verteilt, wenn alle [mm] X_i [/mm] iid poisson verteilt sind?

Und nun denk das mal rückwärts....

Du hast also eine poissonverteilte ZV X gegeben, wie sind [mm] $X_1, \ldots, X_n$ [/mm] zu wählen, so dass [mm] $X_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n \sim [/mm] X$ ?

Gruß,
Gono

Gruß,
Gono


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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03

Hey


> Wenn $ [mm] X_1 [/mm] $ und $ [mm] X_2 [/mm] $ nun Poisson-verteilt zum selben Parameter  und unabhängig sind, wie ist dann $ [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] $ verteilt?

Nach dem genannten Satz ist die Summe auch Poisson verteilt

> Wie ist denn dann $ [mm] X_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n [/mm] $ verteilt, wenn alle $ [mm] X_i [/mm] $ iid poisson verteilt sind?

Ich hoffe du lockst mich gerade nicht in eine Falle, aber nach dem Satz auch wieder poisson verteilt

> Du hast also eine poissonverteilte ZV X gegeben, wie sind $ [mm] X_1, \ldots, X_n [/mm] $ zu wählen, so dass $ [mm] X_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n \sim [/mm] X $ ?

Unabhängig also [mm] $X_1 \neq X_2$ [/mm] ?



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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Mo 20.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> > Wenn [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] nun Poisson-verteilt zum selben Parameter  
> und unabhängig sind, wie ist dann [mm]X_1 + X_2[/mm] verteilt?
>
> Nach dem genannten Satz ist die Summe auch Poisson
> verteilt

Die Frage war: zu welchem Parameter?

>  
> > Wie ist denn dann [mm]X_1 + \ldots + X_n[/mm] verteilt, wenn alle
> [mm]X_i[/mm] iid poisson verteilt sind?
>
> Ich hoffe du lockst mich gerade nicht in eine Falle, aber
> nach dem Satz auch wieder poisson verteilt

Auch hier: zu welchem Parameter?
Darum geht es ja gerade.

>  
> > Du hast also eine poissonverteilte ZV X gegeben, wie sind
> [mm]X_1, \ldots, X_n[/mm] zu wählen, so dass [mm]X_1 + \ldots + X_n \sim X[/mm]
> ?
>
> Unabhängig also [mm]X_1 \neq X_2[/mm] ?

Nein. Wie müssen die [mm] X_i [/mm] verteilt sein damit X wie gewünscht verteilt ist?

Gruß,
Gono


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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03

hi

> Die Frage war: zu welchem Parameter?

Na zu [mm] $\lambda$ [/mm] ?

> Auch hier: zu welchem Parameter?

Zu [mm] $\Lambda$. [/mm] Einen anderen gibt es ja nicht.


>  Nein. Wie müssen die $ [mm] X_i [/mm] $ verteilt sein damit X wie gewünscht verteilt ist?  

Die müssten gleich, also identisch sein?

Ich weiß gerade nicht wo wir hintriften..

Liebe Grüße
Jule



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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mo 20.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich weiß gerade nicht wo wir hintriften..  

Weil du deine Hausaufgaben nicht gemacht hast.

> > Die Frage war: zu welchem Parameter?
>
> Na zu [mm]\lambda[/mm] ?

Ist das eine Frage, eine Antwort?
Die Antwort ist falsch.
Also: nachschlagen!
Und: sauberer aufschreiben. Bei der Verteilung geht es nämlich nicht nur um "poisson", die hat auch einen Parameter,  normalerweise [mm] \lambda [/mm] genannt.

Darum geht nochmal: seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_1 [/mm] unabhängig  poissonverteilt zum Parameter [mm] \lambda [/mm]  wie ist dann $X = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2$ [/mm] verteilt?
Die Antwort ist nicht [mm] \lambda [/mm]

Wenn du das hast, kannst du die anderen Fragen Nochmal beantworten.

Gruß,
Gono


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Unabhängigkeit - Poisson: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03

Das Problem ist, ich habe nichts zum sauber aufschreiben, denn alles was ich sage ist falsch.

> seien $ [mm] X_1 [/mm] $ und $ [mm] X_1 [/mm] $ unabhängig  poissonverteilt zum Parameter $ [mm] \lambda [/mm] $  wie ist dann $ X = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] $ verteilt?

Schau mal, du stellst mir diese Frage. Ich habe dir die einzige Antwort gegeben worüber ich einen passenden Satz habe und selbst der war falsch.

Satz: " Die Summe zweier unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen ist wiederum Poisson-verteilt, und der Parameter ist durch die Summe der Parameter
gegeben"

Ich habe meine Hausaufgaben gemacht nur weiß ich nicht was du mir sagen möchtest, bzw wie ich deine Fragen richtig beantworten soll, sodass sie mich auf den richtigen Weg bringen.

Ich weiß nicht welche andere Verteilung hier noch eine Rolle spielen könnte, vielleicht Bernulli oder Binomial oder die Gleichverteilung?

Es tut mir leid wenn ich nerve, aber wenn ich so schlau wäre, würde ich hier nicht fragen müssen:(

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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03


> Darum geht nochmal: seien $ [mm] X_1 [/mm] $ und $ [mm] X_1 [/mm] $ unabhängig  poissonverteilt zum Parameter $ [mm] \lambda [/mm] $  wie ist dann $ X = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] $ verteilt?

Ok ich probiere es mal mit der Faltungsformel

[mm] $\mathbb{P}(X_1+X_2=k)=\sum_{m=0}^{\infty} \mathbb{P}(X_1=m) \mathbb{P}(X_2=m-k) =\sum_{m=0}^{k} \frac{\lambda^{m} e^{\lambda}}{m !} \cdot \frac{\mu^{k-m} e^{\mu}}{(k-m) !} =e^{-(\lambda+\mu)} \sum_{m=0}^{k} \lambda^{m} \mu^{k-m} \frac{\left( \begin{array}{c}{k} \\ {m}\end{array}\right)}{k !} =e^{-(\lambda+\mu)} \frac{(\lambda+\mu)^{k}}{k !}$ [/mm]

Dann kommt ich auf dieses Ergebnis nur wüste ich nicht, wie man zeigt, dass es unendlich mal teilbar ist, sollte man hier mit der Vollständigen Induktion über k arbeiten? ?

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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Mo 20.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

jetzt wird es interessant, ich führe dir auch mal vor Augen, wieso.
Du schreibst:

> Schau mal, du stellst mir diese Frage. Ich habe dir die einzige Antwort gegeben worüber ich einen passenden Satz habe und selbst der war falsch.

> Satz: " Die Summe zweier unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen ist wiederum Poisson-verteilt, und der Parameter ist durch die Summe der Parameter

gegeben"

Den Satz hast du vorher nie so geschrieben, was du vorher geschrieben hast, war:

> Meine Idee war es den Satz, dass die Summe zweier Poisson-verteilter Zufallsvariablen mit den Parametern $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ und $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ wieder Poisson-verteilt ist, zu nutzen.

Die Kernaussage, dass sich die Parameter addieren, hast du beim ersten Mal geschickt unter den Tisch fallen lassen!
Da kommt nämlich nicht irgendeine Poisson-Verteilung raus, sondern eine konkrete! Habe ich eine [mm] $\lambda_1$-poissonverteilte [/mm] ZV und eine davon unabhängige [mm] $\lambda_2$-poissonverteilte [/mm] ZV, so ist deren Summe [mm] $(\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2)$-poissonverteilt! [/mm]

Und wenn du das Aufmerksam gelesen hättest, wie kann deine Antwort auf meine Frage, nach dem Parameter der Summe zweier unabhängiger [mm] $\lambda$-poissonverteilter [/mm] ZV dann lauten:

> Na zu $ [mm] \lambda [/mm] $ ?

Offensichtlich ist [mm] $\lambda [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = [mm] 2\lambda$ [/mm]

1.) D.h. die Summe zweiter unabhängiger [mm] $\lambda$-poissonverteilter [/mm] ZV ist [mm] $2\lambda$-poissonverteilt. [/mm]

Du solltest dann schließen:
2.) Wie ist denn die Summe von n unabhängigen [mm] $\lambda$-poissonverteilten [/mm] ZV verteilt?

Und dir dann überlegen:
3.) Welche Verteilung muss ich für die n ZV annehmen, damit die Summe nachher [mm] $\lambda$-poissonverteilt [/mm] ist?

Und bitte als Antwort diesmal nicht mit "Poissonverteilt" kommen, sondern konkret mit Parameter. Dass wir aktuell (ausschließlich) über poissonverteilte ZV reden, sollte nach deinem ersten Post schon klar sein.

> Es tut mir leid wenn ich nerve, aber wenn ich so schlau wäre, würde ich hier nicht fragen müssen:(

Das hast wirklich alles nichts mit Schlauheit / Intelligenz oder sonstigem zu tun, sondern mit sorgfältigem Arbeiten.
Wie in meiner ersten Antwort: Dein Ansatz war zielführend und gut durchdacht. Denk das doch einfach mal zu Ende! Es ist übrigens auch sehr erfüllend, wenn man so eine Aufgabe mal selbstständig löst ;-)
Was ich von dir mitbekommen habe: Du hast durchaus das Zeug dazu, nur die Hartnäckigkeit und Sorgfältigkeit scheint dir zu fehlen....

Und so nebenbei: Das ist es, was man im Mathematikstudium lernt. Die eigentlichen Themen sind dabei nur Mittel zum Zweck.

Gruß,
Gono

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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03

Hey,

> 1.) D.h. die Summe zweiter unabhängiger $ [mm] \lambda [/mm] $-poissonverteilter ZV ist $ [mm] 2\lambda [/mm] $-poissonverteilt.

> Du solltest dann schließen:

2.) Wie ist denn die Summe von n unabhängigen $ [mm] \lambda [/mm] $-poissonverteilten ZV verteilt?

> Und dir dann überlegen:
> 3.) Welche Verteilung muss ich für die n ZV annehmen, damit die Summe nachher $ [mm] \lambda [/mm] $-poissonverteilt ist?

2) Die Summe von n unabhängigen $ [mm] \lambda [/mm] $-poissonverteilten ZV, wäre dann [mm] $n\lambda$-poissonverteilt. [/mm]


Bevor ich 3) beantworte vlt mal kurz mein Verständnisproblem. Du sprichst immer von welche Verteilung muss XY annehmen. Ich persönlich denke dann immer an die großen Namen wie Poisson, Geometrisch, Bernulli etc Verteilung, deshalb überlege ich die ganze Zeit was ich dir da hinschreiben soll.

Zu wissen also dass nach 2 die "Die Summe von n unabhängigen $ [mm] \lambda [/mm] $-poissonverteilten ZV, wäre dann [mm] $n\lambda$-poissonverteilt." [/mm] nun wollen wir aber eine Verteilung angeben, die das n vor dem Lambda entfernt, richtig? Oder besser ausgedrückt wir wollen von einer [mm] $n\lambda$-Poissonverteilung [/mm] in eine [mm] $\lambda$-Poissonverteilung. [/mm]


Hierbei fällt mir nur eine Verteilung ein, wie man vlt zu solch eine Ergebnis kommen könnte und zwar die gleichmäßige Verteilung. [mm] $\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{n}, \quad [/mm] k [mm] \in\{1, \dots, n\}$ [/mm]

Könnte man damit nun etwas anfangen?


> Es ist übrigens auch sehr erfüllend, wenn man so eine Aufgabe mal selbstständig löst.

Ja das stimmt, dass habe ich auch schon oft erlebt, aber manchmal hat man einen zu großen Zeitdruck, dass man es nicht schafft lange über ein Problem selbst nachzudenken und man Hilfe benötigt.
Man möchte es einfach nur noch fertig bekommen und dann endlich mal Feierabend machen:)





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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mo 20.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 2) Die Summe von n unabhängigen [mm]\lambda [/mm]-poissonverteilten
> ZV, wäre dann [mm]n\lambda[/mm]-poissonverteilt.

[ok]

> Bevor ich 3) beantworte vlt mal kurz mein
> Verständnisproblem. Du sprichst immer von welche
> Verteilung muss XY annehmen. Ich persönlich denke dann
> immer an die großen Namen wie Poisson, Geometrisch,
> Bernulli etc Verteilung, deshalb überlege ich die ganze
> Zeit was ich dir da hinschreiben soll.

Ok, dann gewöhn dir das ab :-)

> Zu wissen also dass nach 2 die "Die Summe von n
> unabhängigen [mm]\lambda [/mm]-poissonverteilten ZV, wäre dann
> [mm]n\lambda[/mm]-poissonverteilt." nun wollen wir aber eine
> Verteilung angeben, die das n vor dem Lambda entfernt richtig?

Nein. Wir wollen die [mm] X_i [/mm] so wählen, dass deren Summe [mm] $\lambda$-poissonverteilt [/mm] ist.


> Oder besser ausgedrückt wir wollen von einer
> [mm]n\lambda[/mm]-Poissonverteilung in eine
> [mm]\lambda[/mm]-Poissonverteilung.

Nein, gerade das nicht.
Wir wollen eine [mm] $\mu$-poissonverteilung [/mm] für die [mm] $X_i$, [/mm] so dass [mm] $X_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n$ [/mm] dann [mm] $\lambda$-poissonverteilt [/mm] ist. Wie muss [mm] $\mu$ [/mm] dann gewählt werden?

Gruß,
Gono

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Unabhängigkeit - Poisson: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03

Hey

Ich glaube ich lasse es nun, ich gebe morgen die anderen Aufgaben ab, die müssten mir genug Punkte bringen, ich komme hier einfach nicht weiter.

Ich hasse es aufzugeben aber für eine 2 Punkte Aufgabe 8+h zu sitzen ist nicht effektiv.

Ich wüsste nicht mal was ich da wählen soll, bzw wie ich nun $ [mm] \mu [/mm] $ wählen soll. Ich frage mich auch wo das $ [mm] \mu [/mm] $ auf einmal herkommt:)

Kannst du mir morgen mal die Lösung sagen? Denn vlt könnte ich es für die nächste Hausaufgabe als Lemma gebrauchen.

Ich danke dir jedenfalls für die Hilfe.

liebe Grüße
Jule

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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03

Hallo, ich kann es einfach nicht lassen tut mir leid, könnte dies hier nun funktionieren? Leider hänge ich hier gerade etwas um es weiter umzuformen. Kommt man dann ncith irgendwie auf einen Ausdruck der durch n teilbar ist?


[mm] $P(X_1+X_2=n) [/mm] = [mm] \[ \sum_{k=0}^n P(X_1=k) P(X_2=n-k)\] [/mm] = [mm] \[ \sum_{k=0}^n \frac{{\lambda_1}^{k}}{k!}*e^{-\lambda_1} \frac{{\lambda_2}^{k}}{k!}*e^{-\lambda_2}\]$ [/mm]

Liebe Grüße
Jule

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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mo 20.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die [mm] $X_i$ [/mm] sind [mm] $\frac{\lambda}{n}$ [/mm] - poisson verteilt, denn dann ist $X = [mm] X_1 [/mm] + [mm] \ldots X_n$ [/mm] wie gewünscht [mm] $\lambda$-poisson [/mm] verteilt.

Gruß,
Gono

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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mo 20.05.2019
Autor: Juliane03

Hey,

> die $ [mm] X_i [/mm] $ sind $ [mm] \frac{\lambda}{n} [/mm] $ - poisson verteilt, denn dann ist $ X = [mm] X_1 [/mm] + [mm] \ldots X_n [/mm] $ wie gewünscht $ [mm] \lambda [/mm] $-poisson verteilt.

Mmh.

Aber das muss man doch erst Beweisen? Man kann doch nicht einfach $ [mm] X_i [/mm] $ sind $ [mm] \frac{\lambda}{n} [/mm] $ annehmen und dann aufsummieren, ohne zu wissen, das dies überhaupt gilt, oder wurde das schon hier schon bewiesen?
Also war der Weg über die Faltungsformel nicht nötig?


Ich danke dir dafür, dass du mir überhaupt noch antwortest.

lg
Jule

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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Di 21.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aber das muss man doch erst Beweisen?

Was muss man dann beweisen?
Dass die Summe wie gewünscht verteilt ist, folgt aus deinem Satz.

> Man kann doch nicht einfach [mm]X_i[/mm] sind [mm]\frac{\lambda}{n}[/mm] annehmen und dann aufsummieren, ohne zu wissen, das dies überhaupt gilt, oder wurde das schon hier schon bewiesen?

Also, lesen wir uns die Aufgabe nochmal durch und gehen sie an, wie man jede mathematische Aufgabe angehen sollte.

1.) Was ist zu zeigen?

> Zeigen Sie, dass die Poisson-Verteilung mit Parameter $ [mm] \lambda [/mm] > 0 $ unendlich teilbar ist.

2.) Was bedeuten die Begriffe? Was ist hier also "unendlich teilbar"

> Die Verteilung einer Zufallsvariable $ X $ ist unendlich teilbar, falls für jedes $ n [mm] \in [/mm] N $ existieren $ n $ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen $ [mm] X_{n, 1}, \ldots, X_{n, n} [/mm] $, sodass $ X $ und $ [mm] X_{n, 1}+\ldots+X_{n, n} [/mm] $ die gleiche Verteilung haben.

Warum deine [mm] X_i [/mm] doppelte Indizes haben, weißt nur du, mir reicht einer.
Also was benötigen wir, damit X unendlich teilbar ist?

Wir benötigen [mm] $X_1, \ldots, X_n$, [/mm] die alle unabhängig identisch verteilt sind und deren Summe [mm] $X_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n$ [/mm] soll genauso verteilt sein wie X.
Das tolle: Wo die [mm] $X_i$ [/mm] herkommen, spielt dabei gar keine Rolle!
Ob man die konstruiert, ob die vom Himmel fallen oder sie dir jemand vorsagt, alles Wurscht.
Der Satz oben hat eine reine Existenzbedingung.
Wenn ich also solche [mm] $X_1, \ldots, X_n$ [/mm] finde, so dass deren Summe genauso verteilt ist, wie X, bin ich fertig.

1.) Nun ist X also [mm] $\lambda$-poissonverteilt [/mm]
2.) Ich flüstere dir: Schau mal, was passiert, wenn du n unabhängige [mm] $\frac{\lambda}{n}$-verteilte [/mm] Zufallsvariablen aufsummierst
3.) Sind wir damit fertig? Warum oder warum nicht?

Gruß,
Gono

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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Di 21.05.2019
Autor: Juliane03

Hallo Gono,
deine Geduld mit mir ist unfassbar:) Ich hoffe du warst, bist ein Lehrer, denn solche Lehrer bräuchte man an jeder Schule.


Also was ich nun verstanden habe ist, dass X [mm] $\lambda$-poissonverteilt [/mm] ist.
Und [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] so gewählt wird, dass die Summe von diesen Zufallsvariablen auch [mm] $\lambda$-poissonverteilt [/mm] ist.
Nun muss man die Verteilung der einzelnen [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] als $ [mm] \frac{\lambda}{n} [/mm] $-poissonverteilt wählen denn wenn man dann bis n aufsummiert, kann man dies durch n teilen und man dann [mm] $X_1+,...,+X_n$ [/mm] ist [mm] $\lambda$-poissonverteilt, [/mm] also wie X.

Natürlich gilt dies nur wenn der Satz bezüglich der Addition der Poissonverteilungen gilt. Dies würde nun Sinn machen.


Die Frage wäre nun nur noch, wie man das richtig aufschreibt? Denn dies würde nur über die eigentliche Formel der Poissonverteilung passieren oder?
Vielleicht verstehe ich es auch immer etwas falsch wenn ich [mm] $\lambda$-poissonverteilt [/mm] höre. Das bedeutet doch, dass man von [mm] $\lambda$ [/mm] abhängig ist und schlussendlich auch über [mm] $\Lambda$ [/mm] summieren muss Also so hier

[mm] $\[ \sum_{\lambda=1}^n \frac{\frac{(\lambda}{n})^k}{k!} \mathrm{e}^{-\frac{\lambda}}{n}\]$ [/mm] ?





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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Di 21.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich hoffe du warst, bist ein Lehrer

weder noch.
Aber ich erkläre jedem Mathematik, der es lernen will ;-)

> Die Frage wäre nun nur noch, wie man das richtig aufschreibt?

Das hängt davon ab, ob du deinen Satz verwenden willst / darfst, oder es über die Faltung beweisen musst.

> Denn dies würde nur über die eigentliche Formel der Poissonverteilung passieren oder?

Nein, über die Faltung.

>  Vielleicht verstehe ich es auch immer etwas falsch wenn
> ich [mm]\lambda[/mm]-poissonverteilt höre. Das bedeutet doch, dass
> man von [mm]\lambda[/mm] abhängig ist und schlussendlich auch über
> [mm]\Lambda[/mm] summieren muss Also so hier
>  
> [mm]\[ \sum_{\lambda=1}^n \frac{\frac{(\lambda}{n})^k}{k!} \mathrm{e}^{-\frac{\lambda}}{n}\][/mm]
> ?

Autsch!
Nein. Das [mm] \lambda [/mm] ist ein Paramter, aufsummiert wird immer über die Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann.
In dem Fall halt alle $k [mm] \in \IN$. [/mm]

Aber alles andere stimmt (bis auf die fehlerhafte [mm] $\LaTeX$-Notation). [/mm]

Gruß,
Gono

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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Di 21.05.2019
Autor: Christian.B

Hallo Juliane03,
zufälligerweise habe ich dies selbe Aufgabe, ich klinge mich einmal hier ein, wenn es ok ist.


Hallo Gonozal_IX

Könntest du dies hier

> die $ [mm] X_i [/mm] $ sind $ [mm] \frac{\lambda}{n} [/mm] $ - poisson verteilt, denn dann ist $ X = [mm] X_1 [/mm] + [mm] \ldots X_n [/mm] $ wie gewünscht $ [mm] \lambda [/mm] $-poisson verteilt.

etwas konkreter machen? Denn ich glaube man darf nicht so einfach auf das"die $ [mm] X_i [/mm] $ sind $ [mm] \frac{\lambda}{n}" [/mm] schließen?

Die schon erwähnte Faltung wäre doch ein nützliches Tool, oder sehe ich das falsch?
Wie würde man diese hier einbringen?

Ich habe mir nun den ganzen Verlauf hier mehrmals durchgelesen undnich selbst sitze auch schon sehr lange an dieser Aufgabe, es ist schon ziemlich verwirrend :=), hoffe du kannst etwas Licht ins dunkle bringen.

Mit freundlichen Grüßen
Christian.B


P.S. Schönes Forum, endlich mal eins wo die Musterlösungen zusammen erarbeitet  und nicht einfach nur hingeklatscht werden, so lernt man ja nichts.

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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Di 21.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Könntest du dies hier
>  > die [mm]X_i[/mm] sind [mm]\frac{\lambda}{n}[/mm] - poisson verteilt, denn

> dann ist [mm]X = X_1 + \ldots X_n[/mm] wie gewünscht [mm]\lambda [/mm]-poisson
> verteilt.
>  
> etwas konkreter machen? Denn ich glaube man darf nicht so
> einfach auf das"die $ [mm]X_i[/mm] $ sind $ [mm]\frac{\lambda}{n}"[/mm]
> schließen?

Ich schließe nicht, ich nehme mir einfach solche n unabhängigen [mm] $\frac{\lambda}{n}$-verteilten [/mm] Zufallsvariablen.

Siehe meine Ausführungen dazu in der Antwort an Juliane.
  

> Die schon erwähnte Faltung wäre doch ein nützliches
> Tool, oder sehe ich das falsch?
>  Wie würde man diese hier einbringen?

Das [mm] $\frac{\lambda}{n}$ [/mm] fällt ja nicht vom Himmel, das kann man sich wahlweise mit der Faltungsformel herleiten, kommt aber viel einfacher aus dem von Juliane zitierten Satz
"Die Summe zweiter unabhängiger Poisson-verteilter ZV mit Paramter [mm] \lambda_1 [/mm] bzw [mm] $\lambda_2$ [/mm] ist wieder poisson-verteilt mit Paramter [mm] $\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2$." [/mm]
Den Satz kann man natürlich schön mit der Faltungsformel beweisen.

> P.S. Schönes Forum, endlich mal eins wo die
> Musterlösungen zusammen erarbeitet  und nicht einfach nur
> hingeklatscht werden, so lernt man ja nichts.

Das ist der Sinn des Forums, wird nur in der heutigen Zeit viel zu selten genutzt und stattdessen der "einfache Weg" bevorzugt ;-)

Gruß,
Gono

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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Di 21.05.2019
Autor: Christian.B

Hallo!

Achso ok, man darf also einfach statt einer [mm] $\lambda$- [/mm] poisonverteilten Zufallsvariable eine $ [mm] \frac{\lambda}{n} [/mm] $ poisonverteilten Zufallsvariable nehmen. Und die Summiere ich nun auf,also [mm] $\frac{\lambda}{n}+\frac{\lambda}{n}+\frac{\lambda}{n}+,,,+\frac{\lambda}{n} [/mm] = [mm] n\frac{\lambda}{n} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] = X$

Schwierig zu verstehen, besonder weil die Poisonverteilung ja definiert ist als [mm] $P_{\lambda}(k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}$ [/mm]

Die Aufgabe ist schon sehr sehr schwierig, ich komme da irgendwie nicht dahinter. Weil es macht auch irgendwie keinen Sinn wenn man mal die richtige Formel nimmt, gerade im Bezug auf [mm] \frac{\lambda}{n}, [/mm] setz das mal in dies die Formel rein und summiere über [mm] \lambda [/mm] bzw eher über k auf,  kommt man doch nie auf das gewünschte [mm] \frac{n}{n}, [/mm] sodass man zeigen kann, es wäre teilbar.

Ist meine Gedankengang nachvollziehbar? Ich glaube dein Verstand ist so extrem weit weg von meinem, also vom Verständnis eher, dass ich deinem mathematischen Niveau schwer folgen kann.
Denn ich glaube, dass du Tricks benutzt, die ich nicht kenne und daher kommen wir nicht auf den selben Nenner.

Ist genau wie beim Umformen von Gleichungen, speziell bei Induktionsbeweisen, irgendwann hat man den Trick mit der nahrhaften Null verstanden und man sieht es dann auch schon ganz leicht wie und wo man sie verwenden sollte.

Könntest du vielleicht, wenn es dir keine Umstände macht, das Niveau etwas senken:)?

Gruß
Christian







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Unabhängigkeit - Poisson: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Di 21.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Achso ok, man darf also einfach statt einer [mm]\lambda[/mm]-
> poisonverteilten Zufallsvariable eine [mm]\frac{\lambda}{n}[/mm]
> poisonverteilten Zufallsvariable nehmen. Und die Summiere
> ich nun auf,

Bis hier hin ok

> also [mm]\frac{\lambda}{n}+\frac{\lambda}{n}+\frac{\lambda}{n}+,,,+\frac{\lambda}{n} = n\frac{\lambda}{n} = \lambda = X[/mm]

Und hier wird es Schmu!
Links summierst du relle Zahlen auf, rechts steht plötzlich eine Zufallsvariable.

Was du meinst, ist: Du summierst die [mm] $\frac{\lambda}{n}$-verteilten [/mm] ZV auf: [mm] $X_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n$ [/mm]
Die Frage ist nun: Wie ist die Summe nun verteilt?
Nach eurem Satz: Poissonverteilt mit Paramter:  [mm]\frac{\lambda}{n}+\frac{\lambda}{n}+\frac{\lambda}{n}+,,,+\frac{\lambda}{n} = n\frac{\lambda}{n} = \lambda[/mm], also genauso wie $X$.

Ehrlich: Gewöhnt euch an, Dinge sauber aufzuschreiben. Fragt euch, ob das Sinn machen kann, was ihr gerade hingeschrieben habt. Wenn z.B. links von der Gleichung ein anderes "mathematisches Objekt" steht als rechts, kann da was nicht stimmen. Ihr verwirrt euch nur selbst mit sowas....

> Schwierig zu verstehen, besonder weil die Poisonverteilung
> ja definiert ist als [mm]P_{\lambda}(k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}[/mm]

Wieso sollte das dem jetzt widersprechen?


> Die Aufgabe ist schon sehr sehr schwierig, ich komme da
> irgendwie nicht dahinter. Weil es macht auch irgendwie
> keinen Sinn wenn man mal die richtige Formel nimmt, gerade
> im Bezug auf [mm]\frac{\lambda}{n},[/mm] setz das mal in dies die
> Formel rein und summiere über [mm]\lambda[/mm] bzw eher über k
> auf,  kommt man doch nie auf das gewünschte [mm]\frac{n}{n},[/mm]
> sodass man zeigen kann, es wäre teilbar.

Du wirfst gerade Dinge in einen Topf, die nicht zusammengehören.
Einmal redest du von der Verteilung, die definiert ist über die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Wert angenommen wird.
Ein anderes mal redest du über den Paramter einer bestimmten Verteilung.
Das sind zwei verschiedene Paar Schuhe.

> Ist meine Gedankengang nachvollziehbar? Ich glaube dein
> Verstand ist so extrem weit weg von meinem, also vom
> Verständnis eher, dass ich deinem mathematischen Niveau
> schwer folgen kann.
>  Denn ich glaube, dass du Tricks benutzt, die ich nicht
> kenne und daher kommen wir nicht auf den selben Nenner.

Nix Tricks!
Sauber trennen, worüber du redest.
Das funktioniert aber nur, wenn man die Definitionen und Objekte kennt, über die man spricht. Das sitzt bei dir nicht… also:  Nacharbeiten.
Was ist eine Zufallsvariable, was ist eine Verteilung, was ist ein Parameter.... wenn man über solche Dinge reden will, müssen beide Parteien wissen, worüber sie reden.

Gruß,
Gono

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Unabhängigkeit - Poisson: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:56 Mi 22.05.2019
Autor: Christian.B

Hallo Gono

Ja du hast recht, meine Notation ist sehr fraglich, ab und zu.

Also ich habe nun verstanden, wie der Beweis funktioniert, danke dafür.

Aber ich möchte gerne noch einmal zur Notation zurück, denn für mich ist das alles zu informell.

Wenn ich normalerweise einen Beweis aufschreibe, dann schaut der schön und kompakt aus.


Hier sagt man einfach das ich zitiere

> Was du meinst, ist: Du summierst die $ [mm] \frac{\lambda}{n} [/mm] $-verteilten ZV auf: $ [mm] X_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] X_n [/mm] $
> Die Frage ist nun: Wie ist die Summe nun verteilt?
> Nach eurem Satz: Poissonverteilt mit Paramter:  $ [mm] \frac{\lambda}{n}+\frac{\lambda}{n}+\frac{\lambda}{n}+,,,+\frac{\lambda}{n} [/mm] = [mm] n\frac{\lambda}{n} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] $, > also genauso wie $ X $.

Dies müsste man natürlich noch schön aufschreiben, aber  das man sich einfach das Lambda extra vorknöpfen kann ohne die Formel dazu ist ungewöhnlich für mich, kann man solch einen Beweis auch mehr über Worte und das dahinklatschen von einzelnen Summe führen?

Du wirst mich jetzt wahrscheinlich nicht verstehen, da ich selbst nicht richtig weiß wie ich mein Problem rüberbringen soll, aber vlt kannst du es doch verstehen?

Noch einmal Danke für deine Geduld und Hilfe.

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Unabhängigkeit - Poisson: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Fr 24.05.2019
Autor: matux

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