Unabhängigkeit,Korrelation < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien Y und Z zwei unabhängige Zufallsvariablen, wobei gilt
P({Z=1})=P({Z=-1})=P({Y=1})=P({Y=2})=1/2
Wir definieren X:=YZ.
Sind X und Y unabhängig bzw. unkorreliert. |
Unabhängigkeit:
Ich gehe davon aus, dass X und Y nicht unabhängig sind und dass man das über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten zeigt.
jedoch kann ich doch nicht annehmen dass:
P({X=1})=P({YZ=1})= P({Y=1} [mm] \cup [/mm] {Z=1}) = P({Z=1})*P({Y=1})= 1/4
denn P({X=1}) könnte ja auch z.B. durch P({Z=-1}) und P({Y=-1}) dargestellt werden, wobei ich für P({Y=-1}) keine Angabe habe.
also ich weiß nicht, wie ich Werte für P({X=x}) erhalte.
Unkorreliertheit:
Da Y,Z unabh. [mm] \Rightarrow [/mm] Cov(Y,Z) = 0 [mm] \gdw [/mm] E[YZ] = E[Y]*E[Z] (#)
z.z: Cov(X,Y) = 0
[mm] \gdw [/mm] E[XY] = E[X]*E[Y]
[mm] \gdw E[Y^2 [/mm] Z] = E[ZY]*E[Y]
[mm] \gdw [/mm] (#) [mm] E[Y^2 [/mm] Z] = [mm] E[Y]^2 [/mm] * E[Z]
hier weiß ich aber dann auch nicht weiter.
wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Grüße
ConstantinJ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Do 23.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Unabhängigkeit:
> Ich gehe davon aus, dass X und Y nicht unabhängig sind und
> dass man das über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten
> zeigt.
>
> jedoch kann ich doch nicht annehmen dass:
> P({X=1})=P({YZ=1})= P({Y=1} [mm]\cup[/mm] {Z=1}) =
> P({Z=1})*P({Y=1})= 1/4
> denn P({X=1}) könnte ja auch z.B. durch P({Z=-1}) und
> P({Y=-1}) dargestellt werden, wobei ich für P({Y=-1})
> keine Angabe habe.
Wieso? Aus $P({Y=1})=P({Y=2})=1/2$ folgt $P({Y=-1})=0$.
>
> also ich weiß nicht, wie ich Werte für P({X=x}) erhalte.
Kombiniere alle $y$- und $z$- Werte. So erhaeltst du alle Werte von $x$ und folglich $P(X=x)=P(Y=y)P(Z=z)$. Es gibt 4 Moeglichkeiten.
>
> Unkorreliertheit:
> Da Y,Z unabh. [mm]\Rightarrow[/mm] Cov(Y,Z) = 0 [mm]\gdw[/mm] E[YZ] =
> E[Y]*E[Z] (#)
> z.z: Cov(X,Y) = 0
> [mm]\gdw[/mm] E[XY] = E[X]*E[Y]
> [mm]\gdw E[Y^2[/mm] Z] = E[ZY]*E[Y]
> [mm]\gdw[/mm] (#) [mm]E[Y^2[/mm] Z] = [mm]E[Y]^2[/mm] * E[Z]
>
> hier weiß ich aber dann auch nicht weiter.
Zeige, dass [mm] $Y^2$ [/mm] und $Z$ unabhaengig sind.
vg Luis
P.S. So gut haette ich es frueher auch gerne mal gehabt: Da wacht man morgens auf, und dann haben ueber Nacht die Heinzelmaennchen schon einen Grossteil der Arbeit erledigt ... 
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Danke für die Antwort.
Also du meinst das gilt:
[mm] Z(\Omega)= [/mm] {-1,1} und [mm] Y(\Omega)= [/mm] {1,2} ??
Ich dachte es wären nur Teilmengen.
Oder wie kommst du auf P(Y=-1)=0 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 23.05.2013 | | Autor: | luis52 |
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> Oder wie kommst du auf P(Y=-1)=0 ?
>
[mm] $(Y=-1)\subset \overline{(Y=1)\cup(Y=2)}$. [/mm] Also
[mm] $P(Y=-1)\le P(\overline{(Y=1)\cup(Y=2)})=1-P(Y=1)-P(Y=2)=1-1/2-1/2=0$
[/mm]
vg Luis
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Vielen Dank!
Achso:
Da ja gilt: [mm] P(Y(\Omega))= [/mm] 1
und P(Y=1) + P(Y=-1) = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] P(Y=a)=0 mit [mm] a\in Y(\Omega) [/mm] und a [mm] \not= [/mm] 1,-1
Grüße
ConstantinJ
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Do 23.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Kleiner Schoenheitsfehler: $Y$ nimmt die Werte 1 und 2 an ...
vg Luis
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Oh ja, habs mit Z verwechselt.
Auf jeden Fall herzlichen Dank.
Hat mir echt sehr weitergeholfen.
Grüße
ConstantinJ
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Noch eine kurze Frage:
Kann ich das so schreiben?
P({YZ=1})= P({Y=1} [mm] \cup [/mm] {Z=1}) = P({Z=1})*P({Y=1})
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Do 23.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Kann ich das so schreiben?
>
> P({YZ=1})= P({Y=1} [mm]\cup[/mm] {Z=1}) = P({Z=1})*P({Y=1})
>
>
Nein,
$P({YZ=1})= P({Y=1} [mm] \red{\cap}{Z=1}) [/mm] = P({Z=1})*P({Y=1})$.
Sonst ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
vg Luis
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