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Forum "Uni-Stochastik" - Unabhängigkeit bed. W-keit
Unabhängigkeit bed. W-keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Unabhängigkeit bed. W-keit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 So 14.10.2018
Autor: Jellal

Hallo zusammen,

eine Frage:

Angenommen A,B,C seien Ereignisse auf einem W-Raum.

Unter welchen Bedingungen gilt P(A|B,C)=P(A|B)?
Ich dachte, dass A dann unabhängig von C sein muss, aber es gelingt mir nicht, das zu zeigen.

vG.
Jellal

        
Bezug
Unabhängigkeit bed. W-keit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 So 14.10.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Unter welchen Bedingungen gilt  P(A|B,C) = P(A|B)?
>  Ich dachte, dass A dann unabhängig von C sein muss, aber
> es gelingt mir nicht, das zu zeigen.


Hallo  Jellal

Ist mit   $\ P(A\ [mm] |\, B\, [/mm] ,C)$  dasselbe gemeint wie mit  $\ [mm] P(A\, [/mm] |\ [mm] B\cap [/mm] C)$ ?

Falls ja, dann kann man die Bedingung  $\ [mm] P(A\, [/mm] |\ [mm] B\cap [/mm] C)\ =\ [mm] P(A\, [/mm] |\ [mm] B\,)$ [/mm]
gemäß meiner Rechnung auch auf diese Form bringen:

[mm] $\qquad P(C\, [/mm] |\ [mm] A\cap [/mm] B)\ =\ [mm] P(C\, [/mm] |\ [mm] B\,)$ [/mm]

Ob dies aber irgendwie weiterhilft ?
Dass A und C unabhängig sein müssen, denke ich nicht.
Vielleicht wäre aber Unabhängigkeit von A und C eine
hinreichende Bedingung ?

Bezug
        
Bezug
Unabhängigkeit bed. W-keit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 So 14.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es gilt:

$P(A|B,C) = [mm] \frac{P(A,C|B)}{P(C|B)}$ [/mm]

Daraus folgt genau dann, wenn $P(A|B,C) = P(A|B)$ gilt, dass dann auch

$P(A,C|B) = P(A|B,C)P(C|B) = P(A|B)P(C|B)$ gilt.

D.h. zusammengefasst:

[mm] $P(A|B,C)=P(A|B)\quad\gdw\quad [/mm] P(A,C|B)=P(A|B)P(C|B)$

D.h. die Aussage gilt genau dann, wenn A und C unabhängig sind unter der Bedingung B.

Das bedeutet aber nicht, dass sie im Allgemeinen unabhängig sind…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Unabhängigkeit bed. W-keit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 So 14.10.2018
Autor: Jellal

Hallo Gono, danke dir, das ist also Unabhängigkeit bedingter Wkeiten.

Aber ich weiß nicht so recht, ob ich das in meiner Aufgabe nutzen kann, da explizit eine solche Unabhängigkeit nicht gegeben ist:

Angenommen ich habe Wkeiten von Ereignissen C,B und P:
p(C|B)
p(P|C)
p(P|!C)

Ich brauche: p(C|B,P).

Berechnet habe ich p(C), p(B), p(P), p(P,C) und p(P,!C), p(C,B) (diverse GegenW-keiten gehen auch).

Aber was dann?
Ich finde keinen Weg aus p(C|B,P) einen Term zu machen, in welchem nur eine oder zwei Variablen in den p(..) stehen.
Braucht man dafür zwingend eine Art der von dir erklärten Unabhängigkeit?
edit: Ich glaube, es ist eine Unabh. gegeben, siehe unten.

vG.


Bezug
                        
Bezug
Unabhängigkeit bed. W-keit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 So 14.10.2018
Autor: Jellal

Also ich glaube, ich habe so eine Unabhängigkeit entdeckt. Es ist eine Textaufgabe. Vielleicht sollte ich sie nächstes mal direkt posten:

Eine Patient, in dessen Familie es noch keine Krebsvorfälle gab, kommt zum Onkologen. Das Testergbnis ist positiv.
Patienten mit diesem Background haben zu 0.8% Krebs.
In 90% der Fälle, in denen Krebs vorhanden ist, zeigt der Test ein positives Ergebnis. Er zeigt aber auch ein positives Ergebnis in 7% der Fälle, in denen kein Krebs vorhanden ist.

Gesucht ist die W-keit, mit der der Patient nun Krebs hat.

Ereignisse:
P: positives Testergebnis
C: Krebs vorhanden
B: Patient hat den erwähnten background

Gegeben sind dann die Wkeiten von oben aus meiner ersten Frage.

Nun kann man argumentieren, dass p(P|C,B)=p(P|C) gilt.
Wenn Krebs vorhanden ist, zeigt der Test zu 90% ein positives Ergebnis, ganz gleich, welchen Background der Patient hat.

Dann kann man mit Produkt- und Bayes-Regel schreiben:
p(C|B,P)= [mm] \bruch{p(C,B|P)}{p(B|P)}= \bruch{p(P|C,B)p(C,B)}{p(P)p(B|P)} [/mm]

Jetzt brauche ich noch p(B|P)...

edit: kann ich schreiben p(B,P)=p(B)(p(C|B)*p(P|C)+p(!C|B)*p(P|!C)) ?

Bezug
                                
Bezug
Unabhängigkeit bed. W-keit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Di 16.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es ist eine Textaufgabe. Vielleicht sollte ich sie nächstes mal direkt posten:

Das ist immer eine gute Idee…

> Ereignisse:
>  P: positives Testergebnis
>  C: Krebs vorhanden
>  B: Patient hat den erwähnten background

Das stimmt schon nicht.
Die Info in der Aufgabe ist: Mann kommt zum Arzt und hat einen positiven Befund => Dann hat er zu 80% auch wirklich Krebs.
D.h. $p(C|P) = 0.8$

> Gegeben sind dann die Wkeiten von oben aus meiner ersten Frage.
>  
> Nun kann man argumentieren, dass p(P|C,B)=p(P|C) gilt.

Warum sollte das gelten?
Wie in der ersten Antwort erwähnt, wäre das nur der Fall, wenn P und C unabhängig unter B wären.

D.h. wenn gilt p(P,C|B) = p(P|B)P(C|B)
Das gilt jetzt wieso?

Ist aber auch gar nicht wichtig…  das ist eine Standardaufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit.

Wir haben:
p(C|P) = 0.8
p(P|C) = 0.9
[mm] p(P|\overline{C}) [/mm] = 0.07

Gesucht ist: $p(C)$
Nun spiel mal ein bisschen mit der Bayes-Formel rum und stell die dann nach $p(C)$ um.

>  Wenn Krebs vorhanden ist, zeigt der Test zu 90% ein
> positives Ergebnis, ganz gleich, welchen Background der
> Patient hat.

Korrekt, das bedeutet $p(P|C) = 0.9$

> Dann kann man mit Produkt- und Bayes-Regel schreiben:
>  p(C|B,P)= [mm]\bruch{p(C,B|P)}{p(B|P)}= \bruch{p(P|C,B)p(C,B)}{p(P)p(B|P)}[/mm]

Das stimmt doch nicht, wie kommst du darauf? Über p(C|B,P) haben wir gar keine Info, das braucht man auch nicht.

> Jetzt brauche ich noch p(B|P)...
>  
> edit: kann ich schreiben
> p(B,P)=p(B)(p(C|B)*p(P|C)+p(!C|B)*p(P|!C)) ?

Rechts in der Klammer steht also: $p(C|B)*p(P|C) + (1-p(C|B)(p(P|!C)) = p(P|!C) + p(C|B)(p(P|C) - p(P|!C)) = 0.07 + 0.83p(C|B)$

Jetzt multipliziere das mit p(B), da kommt nie p(B,P) raus… aber wie oben erwähnt: Auch völlig irrelevant.

Gruß,
Gono


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