Unabhängigkeit zweier ZV < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum,
mal eine ganz banale Frage, bei der ich mir jedoch nicht sicher bin:
Seien X und Y zwei voneinander stochastisch unabhängige Zufallsvariablen.
Meine Frage:
Gilt dann P(X|Y)=P(Y|X)?
Da die beiden Variablen unabhängig sind, wird doch die hier beschriebene Bedingtheit aufgehoben, oder sehe ich das falsch? Über einen kurzen Kommentar würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Gilt dann P(X|Y)=P(Y|X)?
Unabhängig heißt ja P(X|Y)=P(X), bzw. P(Y|X)=P(Y)
Also schreibst Du P(X|Y)=P(X)=P(Y)=P(Y|X)
Das gilt aber nur, wenn X und Y auch noch identisch verteilt sind.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Fr 20.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Marcel,
In Ergaenzung zu blech:
>Unabhängig heißt ja P(X|Y)=P(X), bzw. P(Y|X)=P(Y)
>Also schreibst Du P(X|Y)=P(X)=P(Y)=P(Y|X)
>Das gilt aber nur, wenn X und Y auch noch identisch verteilt sind.
Selbst dann nicht, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt: Es werden zwei Wuerfel geworfen. Sei [mm] $(X=0)=\text{Augenzahl des ersten Wuerfel ist 1}$ [/mm] und [mm] $(X=1)=\text{Augenzahl des ersten Wuerfel ist 2,3,4,5,6}$. [/mm] Sei ferner [mm] $(Y=0)=\text{Augenzahl des zweiten Wuerfel ist 1}$ [/mm] und [mm] $(Y=1)=\text{Augenzahl des zweiten Wuerfels ist 2,3,4,5,6}$. [/mm] Offenbar sind X und Y unabhaengig und identisch verteilt, jedoch gilt [mm] $P(X=0\mid Y=1)=P(X=0)=1/6\ne5/6=P(Y=1)=P(Y=1\mid [/mm] X=0)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo luis52,
das heisst also, dass die Behauptung für zwei unabhängige Zufallsvariablen
P(X|Y)=P(Y|X)
generell falsch ist?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Fr 20.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52,
>
>
>
> das heisst also, dass die Behauptung für zwei unabhängige
> Zufallsvariablen
>
>
> P(X|Y)=P(Y|X)
>
>
> generell falsch ist?
>
Ja.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 So 22.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Selbst dann nicht, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt: Es
> werden zwei Wuerfel geworfen. Sei [mm](X=0)=\text{Augenzahl des ersten Wuerfel ist 1}[/mm]
> und [mm](X=1)=\text{Augenzahl des ersten Wuerfel ist 2,3,4,5,6}[/mm].
> Sei ferner [mm](Y=0)=\text{Augenzahl des zweiten Wuerfel ist 1}[/mm]
> und [mm](Y=1)=\text{Augenzahl des zweiten Wuerfels ist 2,3,4,5,6}[/mm].
> Offenbar sind X und Y unabhaengig und identisch verteilt,
> jedoch gilt [mm]P(X=0\mid Y=1)=P(X=0)=1/6\ne5/6=P(Y=1)=P(Y=1\mid X=0)[/mm].
Sorry, ich kenne P(X) nur als Schreibweise für die Verteilung, nicht für einzelne Ereignisse.
d.h. $P(X)=P(Y)\ [mm] \Leftrightarrow\ P(X\in [/mm] B) = [mm] P(Y\in B),\qquad \forall B\in\mathcal{B}$
[/mm]
Das mag mißverständlich gewesen sein.
Andererseits ist Dein Gegenbeispiel auch nicht besser. =P
Du siehst P(X)=P(Y) offenbar als Notation für
[mm] $P(X\in B_1) [/mm] = [mm] P(Y\in B_2),\qquad \forall B_1,B_2\in\mathcal{B},$
[/mm]
Daß, wenn ich die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse betrachte, diese i.a. nicht gleich sein werden, ist imho reichlich offensichtlich und sinnfrei. =)
ciao
Stefan
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