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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Di 19.06.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Nach langer Zeit mal wieder eine Frage von mir. Und zwar hat uns unser Prof von einer alten Prüfungsfrage erzählt, nämlich bei der Definition des Unabhängigkeitssystems. Er meinte etwas in der Art: "Die leere Menge ist doch Teilmenge jeder Menge, ist dann die erste Bedingung nicht überflüssig?" (Die erste Bedingung ist, dass [mm] $\emptyset\in\mathcal{F}$ [/mm] ist.) Die Antwort war irgendwas mit "Nein, denn es könnte ja auch sein, dass [mm] $Y=\emptyset$" [/mm] oder so was ähnliches. Aber auch nach mehrmaligem Nachdenken verstehe ich das nicht. Wo liegt da dann das Problem?
Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Mi 20.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Bastiane.
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich meine, dass man mit
[mm] \emptyset\in\mathcal{F} [/mm] zeigt, dass dieses Unabhängigkeitssystem überhaupt existiert.
Marius
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Hallo,
diese Begründung leuchtet mir in höchstem Maße ein!
Ist wohl so ähnlich wie beim Vektorraum V, wo es essentiell ist, daß man sicherstellt, daß V wirklich ein Element enthält.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mi 20.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Kann mich nur anschließen - es muss mindestnens eine unabhängige Menge in dem System geben. Der Einfachheit halber wird [mm] \emptyset [/mm] als solche angegeben. Definition eines Matroids auf Wiki.en:
One of the most valuable definitions is that in terms of independence. In this definition a finite matroid M is a pair (E, I), where E is a finite set and I is a collection of subsets of E (called the independent sets) with the following properties:
1. The empty set is independent. (Alternatively, at least one subset of E is independent.)
2. Every subset of an independent set is independent. This is sometimes called the hereditary property.
3. If A and B are two independent sets and A has more elements than B, then there exists an element in A which is not in B and when added to B still gives an independent set. This is sometimes called the augmentation property or the independent set exchange property.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Danke für eure Antworten - aber gibt's da nicht noch eine andere Begründung? Ich bin mir nämlich ziemlich sicher, dass das der Prof nicht gemeint hat! Denn er hat wirklich etwas mit der leeren Menge gesagt, dass sie ja Teilmenge jeder Menge ist und dass es dann ein Problem gibt, wenn irgendeine Menge (ich weiß nur nicht mehr, ob es E oder X oder Y waren) leer ist.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mi 20.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Bastiane.
Wenn ich mir ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript dazu anschaue, denke ich, dass mit [mm] \epmtyset\in\mathcal{F} [/mm] die Existenz diese Systems gezeigt wird, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist.
Ausserdem ist es "nur" eine Definition, und diese haben die Eigenschaft, dass oft noch gezeigt werden muss, dass diese Definition einerseits wohldefiniert ist, und andererseits auch solche "Gebilde" existieren.
Alles andere macht in meinen Augen keinen Sinn.
Aber damit es nicht die einzige Antwort bleibt, lasse ich die Frage mal auf z.T. beantwortet.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Di 26.06.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
was hier bisher gesagt wurde ist richtig - es ist analog wie beim VR wo man den Nullvektor fordert...
(wie weit Matroide usw als Verallgemeinerung von VR angesehen werden können, kann man sich ja mal bei Gelegenheit überlegen)
Die Prüfungsfrage ist (imho) eine Trickfrage, denn es gilt für jede Menge M, dass [mm] $\emptyset\subseteq [/mm] M$ aber es gilt NICHT [mm] $\emptyset\in [/mm] M$
Also wenn M ein System von Mengen sein soll, verlangt man mit dem ersten Axiom, dass es ein ELEMENT darin gibt...
viele Grüße
DaMenge
p.s. : wie war das gespräch mit dem Ulrich für die Tutorenstelle gelaufen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Di 26.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Die Prüfungsfrage ist (imho) eine Trickfrage, denn es gilt
> für jede Menge M, dass [mm]\emptyset\subseteq M[/mm] aber es gilt
> NICHT [mm]\emptyset\in M[/mm]
Damit bin ich nicht einverstanden. Wenn für eine Menge [mm] \emptyset\subset [/mm] M gilt, dann ist [mm] \emptyset\in\mathcal{P}\left(M\right), [/mm] Element der Potenzmenge.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 26.06.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Damit bin ich nicht einverstanden. Wenn für eine Menge
> [mm]\emptyset\subset[/mm] M gilt, dann ist
> [mm]\emptyset\in\mathcal{P}\left(M\right),[/mm] Element der
> Potenzmenge.
joah, das ist richtig, aber irrelevant, denn das erste axiom verlangt, dass [mm] $\emptyset\in\ [/mm] M$ und nicht in der Potenzmenge von M
wenn [mm] $M=\emptyset$ [/mm] ist, dann ist $|M|=0$ , das axiom verlangt also mit [mm] $\emptyset\in\ [/mm] M$, dass $|M| [mm] \ge [/mm] 1$ ist
(wobei M eine Menge von Mengen ist...)
viele Gruesse
DaMenge
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