Unbeschränktheit zeigen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Sa 01.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Ist die gegebene Folge [mm] (b_n), n\in\IN [/mm] monoton wachsend/fallend? Sind die Folgen beschränkt? Beweisen Sie Ihre Behauptungen!
[mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{1-n+n^2}{n+1} [/mm] |
Hallo!
Also, dass die Folge monoton steigend ist, hab ich bereits gezeigt!
Was mir hier Probleme bereitet, ist die Unbeschränktheit nach oben!
Mein Ansatz wäre folgender (zeige durch Widerspruch):
sei s eine obere Schranke, so dass [mm] s\ge b_n, \forall n\in\IN
[/mm]
[mm] s\ge\frac{1-n+n^2}{n+1} \gdw
[/mm]
[mm] s*(n+1)\ge 1-n+n^2 \gdw
[/mm]
[mm] sn+s-1\ge n+n^2 \gdw
[/mm]
[mm] \frac{sn+s-1}{n+1}\ge [/mm] n
wir haben in der Vorlesung leider nie behandelt, wie man unbeschränktheit zeigt, aber ich denke mal, dass ich hier weiter nach n auflösen sollte, oder?
Ist mein Ansatz bis jetzt Zielführend??
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Sa 01.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ist die gegebene Folge [mm](b_n), n\in\IN[/mm] monoton
> wachsend/fallend? Sind die Folgen beschränkt? Beweisen Sie
> Ihre Behauptungen!
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{1-n+n^2}{n+1}[/mm]
> Hallo!
>
> Also, dass die Folge monoton steigend ist, hab ich bereits
> gezeigt!
> Was mir hier Probleme bereitet, ist die Unbeschränktheit
> nach oben!
>
> Mein Ansatz wäre folgender (zeige durch Widerspruch):
> sei s eine obere Schranke, so dass [mm]s\ge b_n, \forall n\in\IN[/mm]
>
> [mm]s\ge\frac{1-n+n^2}{n+1} \gdw[/mm]
>
> [mm]s*(n+1)\ge 1-n+n^2 \gdw[/mm]
>
> [mm]sn+s-1\ge n+n^2 \gdw[/mm]
>
> [mm]\frac{sn+s-1}{n+1}\ge[/mm] n
>
> wir haben in der Vorlesung leider nie behandelt, wie man
> unbeschränktheit zeigt, aber ich denke mal, dass ich hier
> weiter nach n auflösen sollte, oder?
> Ist mein Ansatz bis jetzt Zielführend??
Ja. Löse die letzte Ungleichung nach n auf. Dann bekommst Du
[mm] n^2-n(1+s)+1-s \le [/mm] 0 für alle n.
Nun denke an den Graphen der Funktion
[mm] f(x)=x^2-x(s+1)+1-s.
[/mm]
FRED
>
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 01.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Hab den Graph jetz mal mit GeoGebra zeichnen lassen u für s einen Schieberegler eingebaut.
Egal wie groß ich s nun mache, es gibt immer einen x-Wert, bei dem der Graph wieder ober der x-Achse liegt!
Aber gibt es auch einen nicht-graphischen Beweis, dass s keine obere Schranke ist mit deiner Ungleichung:
[mm] n^2-n(1+s)+1-s \le [/mm] 0
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Sa 01.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hab den Graph jetz mal mit GeoGebra zeichnen lassen u für
> s einen Schieberegler eingebaut.
>
> Egal wie groß ich s nun mache, es gibt immer einen x-Wert,
> bei dem der Graph wieder ober der x-Achse liegt!
Das ist auch kein Problem, die x-Achse spielt hier erstmal keine Rolle
>
> Aber gibt es auch einen nicht-graphischen Beweis, dass s
> keine obere Schranke ist mit deiner Ungleichung:
>
> [mm]n^2-n(1+s)+1-s \le[/mm] 0
[mm] $f(x)=x^{2}-(1-s)\cdot [/mm] x +(1-s)$ ist doch eine quadratische Parabel, wsa kannst du über die Öffnungsrichtung sagen? Und was über den Scheitelpunkt?
>
> ???
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 01.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ist von der Variablen s abhängig!
Nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Sa 01.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt
> ist von der Variablen s abhängig!
> Nicht?
Das stimmt soweit. Aber was ist denn der Scheitelpunkt dann für ein besonderer Punkt? Und was bedeutet das für deine Überlegungen bezüglich der Begrenztheit des Wertebereiches?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 01.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Hmm....würde jetz auf die schnelle sagen, dass ich die 1. Ableitung bilden muss, um den Scheitelpunkt berechnen zu können!
f'(x) = 2x-(1-s) = 2x-1+s
Extremum bekomm ich jetzt ja, wenn ich die 1. Ableitung 0 setze! Damit ergibt sich nach Umformung
x = [mm] \frac{1-s}{2}
[/mm]
Wie kann ich jetzt begründen, dass s keine obere Schranke ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 01.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Hmm....würde jetz auf die schnelle sagen, dass ich die 1.
> Ableitung bilden muss, um den Scheitelpunkt berechnen zu
> können!
>
> f'(x) = 2x-(1-s) = 2x-1+s
>
> Extremum bekomm ich jetzt ja, wenn ich die 1. Ableitung 0
> setze! Damit ergibt sich nach Umformung
>
> x = [mm]\frac{1-s}{2}[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt begründen, dass s keine obere Schranke
> ist??
Das ist viel zu kompliziert. Du hast eine nach oben geöffnete Parabel, ist diese nach oben beschränkt?
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hmm....würde jetz auf die schnelle sagen, dass ich die 1.
> Ableitung bilden muss, um den Scheitelpunkt berechnen zu
> können!
>
> f'(x) = 2x-(1-s) = 2x-1+s
da ist ein Fehler in Deiner Rechnung:
Mit
[mm] $f(x)=x^2-(s+1)*x+(1-s)$
[/mm]
ist doch
[mm] $f\,'(x)=2x-(s+1)=2x-s-1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Ist die gegebene Folge [mm](b_n), n\in\IN[/mm] monoton
> wachsend/fallend? Sind die Folgen beschränkt? Beweisen Sie
> Ihre Behauptungen!
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{1-n+n^2}{n+1}[/mm]
> Hallo!
>
> Also, dass die Folge monoton steigend ist, hab ich bereits
> gezeigt!
> Was mir hier Probleme bereitet, ist die Unbeschränktheit
> nach oben!
Um diese zu zeigen, hilft schon ein wenig Umformen :
$\ [mm] b_n\ [/mm] =\ [mm] \frac{1-n+n^2}{n+1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{n^2+n\,-\,2\,n+1}{n+1}\ [/mm] =\ [mm] n\,+\,\frac{-\,2\,n+1}{n+1}$
[/mm]
$\ =\ [mm] n\,+\,\frac{-\,2\,n-2+3}{n+1}\ [/mm] =\ [mm] n\,-\,2\,+\,\frac{3}{n+1}$
[/mm]
So, und jetzt schau dir die einzelnen noch da stehenden
Terme an !
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist die gegebene Folge [mm](b_n), n\in\IN[/mm] monoton
> wachsend/fallend? Sind die Folgen beschränkt? Beweisen Sie
> Ihre Behauptungen!
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{1-n+n^2}{n+1}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
für alle natürlichen $n\,$ gilt:
$b_n=\frac{1}{n+1}-\frac{n}{n+1}+\frac{n^2}{n+1}$ $\ge$ $0-1+\frac{(n+1-1)^2}{n+1}$
$\ge$ $-1+\frac{(n+1)^2}{n+1}-2\frac{(n+1)}{n+1}+\frac{1}{n+1}$
$\ge$ $(n+1)-3=n-2\,.$
Zu der "Parabel-Methode":
Du hast Dich gefragt, ob es ein (reelles) $s\,$ mit
$s \ge \frac{1-n+n^2}{n+1}$ für alle $n \in \IN$
gibt. Da $n \in \IN$ auch $n \ge 0$ erfüllt, folgt
$s \ge \frac{1-n+n^2}{n+1}$
$\iff$ $s(n+1) \ge 1-n+n^2$
$\iff$ $n^2-(s+1)*n+(1-s) \le 0\,.$
Hier kannst Du eigentlich schon aufhören, wenn Du Dir klarmachst, was
Du über Funktionen
$f(x)=a*x^2+b*x+c$
mit $a \not=0$ weißt (hoffentlich). Denn was Dich nachher wirklich interessiert,
ist ja nur
$\left. f \right|_{\IN}\,,$
wenn bei $f\,$ dann $a=1\,,$ $b=-(s+1)\,$ und $c=1-s\,$ ist.
Da das aber anscheinend Probleme bereitet (eine Scheitelpunktberechnung
mithilfe der Differentialrechnung ist zwar naheliegend und einfach, aber
keinesfalls wirklich notwendig), gibt's nun noch *Erinnerungstechniken*:
1. Die linke Seite von
$n^2-(s+1)*n+(1-s) \le 0$
kann man faktorisieren ( pq-Formel). Inwiefern könnte das helfen?
(Übrigens auch, um den Scheitelpunkt zu bestimmen, jedenfalls, wenn die
Funktion Nullstellen hat!)
2. Man benutzt die Technik, die man bei der pq-Formel benutzt hat - nämlich
die quadratische Ergänzung. Beachte dabei, dass $s\,$ fest ist. Dann haben wir
$n^2-(s+1)*n+(1-s) \le 0$
$\iff$ ${\left(n-\frac{s+1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{s+1}{2}\right)}^2 +(1-s) \le 0\,.$
D.h., wenn es eine solche Schranke $s\,$ geben würde, dann müßte
${\left(n-\frac{s+1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{s+1}{2}\right)}^2 +(1-s) \le 0$
für alle $n \in \IN$ gelten. (Das wollen wir zum Widerspruch führen!)
Für
$f(x)=\left(x-\frac{s+1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{s+1}{2}\right)}^2 +(1-s)$ ($x \in \IR$)
kannst Du aber den Scheitelpunkt ablesen, und Du weißt, wie der Graph
"rechts" vom Scheitelpunkt verläuft. Eigentlich interessiert Dich nur
$\left. f\right|_{\IN \cap [\frac{s+1}{2},\infty)}$ (das kann man fast nicht lesen, daher: Das Intervall,
welches da steht, ist $\left[\frac{s+1}{2},\infty\right)$)
P.S. Man könnte auch "konstruktiv" so versuchen, die Unbeschränktheit von
$(b_n)_n$ zu beweisen:
1. Man finde/konstruiere/teste oder rate ein $c > 0\,.$ Nun will man
$b_n \ge c*n$
beweisen. (Warum? Dazu später etwas.)
Aber das muss NICHT für alle $n \in \IN\,,$ sondern es reicht durchaus, diese Ungleichung
für alle $n \ge n_0$ mit einem (von $c\,$ abhängigen) $n_0$ nachzurechnen!
2. Warum hilft das? Naja: $(c*n)_n$ ist nach oben unbeschränkt.
3. Wieso kann ich $(c*n)_n$ betrachten? Man kann (und sollte) es formal eigentlich
genauer begründen, aber so grob:
$\frac{1-n+n^2}{n+1}=\frac{n}{n}*\frac{1/n-1+n}{1+1/n}=\frac{1/n-1+n}{1+1/n}$
ist für große $n\,$ immer sehr nahe an $n\,$ dran.
Hast Du eine Idee, wie man das formalisieren könnte?
P.P.S. Die Folge ist zwar unbeschränkt, da sie nach oben unbeschränkt
ist, aber was bisher noch nirgends gesagt wurde (glaube ich, ich lese
das aber gleich alles nochmal durch):
Sie ist durchaus nach unten beschränkt.
Hast Du dahingehend eine Idee, wie wir eine untere Schranke finden?
(Es gehen dabei durchaus auch "Raten und Beweisen"- oder "Mit Monotonie
argumentieren"- oder "Mit Scheitelpunkt argumentieren"-Methoden.)
Gruß,
Marcel
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