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Guten Tag euch!
Ich habe eine Übungsaufgabe die ich nicht richtig verstehe oder besser bei der ich nicht voran komme. Mich stört das [mm] x^4 [/mm] im Nenner.
Ich soll das unbestimmte Integral ausrechnen:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{dx}{1+x^4} }
[/mm]
kann mir jemand helfen?
Danke schon mal!!
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Hallo Prinzessin,
> Ich soll das unbestimmte Integral ausrechnen:
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{dx}{1+x^4} }[/mm]
zerlege das Polynom [mm]1\; + \;x^{4} [/mm] in zwei quadratische Polynome:
[mm]1\; + \;x^{4} \; = \;\left( {x^{2} \; + \;b_{1} \;x\; + \;c_{1} } \right)\;\left( {x^{2} \; + \;b_{2} \;x\; + \;c_{2} } \right)[/mm]
Und wende dann die Partialbruchzerlegung an.
[mm]\int {\frac{1}{{1\; + \;x^{4} }}\;dx\; = \;\int {\frac{{A\;x\; + \;B}}{{x^{2} \; + \;b_{1} \;x\; + \;c_{1} }}\; + \;} } \frac{{C\;x\; + \;D}}{{x^{2} \; + \;b_{2} \;x\; + \;c_{2} }}\;dx[/mm]
Das ist richtig, weil das Polynom [mm]1\; + \;x^{4} [/mm] keine Nullstellen in [mm]\IR[/mm] hat.
Gruß
MathePower
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Hallo,
danke für die Hilfe!
Wie kann ich an die Koeffizienten kommen, also A, B, C, D, a, b...?
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Hallo Prinzessin,
> Wie kann ich an die Koeffizienten kommen, also A, B, C, D,
> a, b...?
für die Zerlegung des Polynoms [mm]1\; + \;x^{4}[/mm] gilt ja
[mm]1\; + \;x^{4} \; = \;\left( {x^{2} \; + \;b_{1} \;x\; + \;c_{1} } \right)\;\left( {x^{2} \; + \;b_{2} \;x\; + \;c_{2} } \right)[/mm]
Die zu bestimmenden Koeffizienten bekommst Du durch ausmultipliziern und Vergleich mit den links stehenden Polynom heraus.
Oder Du ermittelst die Nullstellen des Polynoms und bildest das quadratische Polynom aus zwei konjugiert komplexen Nullstellen:
Für die Nullstellen gilt:
[mm]\begin{gathered}
x^{4} \; = \; - 1\; = \;e^{i\pi } \hfill \\
\Rightarrow \;x_k \; = \;\cos \left( {\frac{{\pi \; + \;2\;k\;\pi }}
{4}} \right)\; + \;i\;\sin \left( {\frac{{\pi \; + \;2\;k\;\pi }}
{4}} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann ergeben sich die quadratischen Polynome wie folgt:
[mm]x^{2} \; + \;b_{1} \;x\; + \;c_{1} \; = \;\left( {x\; - \;x_{1} } \right)\;\left( {x\; - \;\overline {x_{1} } } \right)\; = \;x^{2} \; + \;\left( {x_{1} \; + \;\overline {x_{1} } } \right)\;x\; + \;x_{1} \;\overline {x_{1} } [/mm]
wobei
[mm]\begin{gathered}
x_{1} \; = \;a\; + \;i\;b \hfill \\
\overline {x_{1} } \; = \;a\; - \;i\;b \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das zweite quadratische Polynom wird aus den übriggebliebenen Nullstellen gebildet.
Um die Koeffizienten A, B, C und D zu ermitteln, gehst Du genauso wie oben vor:
[mm]1\; = \;\left( {A\;x\; + \;B} \right)\;\left( {x^{2} \; + \;b_{2} \;x\; + \;c_{2} } \right)\; + \;\left( {C\;x\; + \;D} \right)\;\left( {x^{2} \; + \;b_{1} \;x\; + \;c_{1} } \right)[/mm]
Durch Ausmultiplizieren und vergleichen mit der linken Seite gewinnst Du ein Gleichungssystem, aus dem sich die Koeffizienten bestimmen lassen.
Gruß
MathePower
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Hallo,
danke zunächst.
Also ich setze $ [mm] \begin{gathered} x_{1} \; = \;a\; + \;i\;b \hfill \\ \overline {x_{1} } \; = \;a\; - \;i\;b \hfill \\ \end{gathered} [/mm] $ in
$ [mm] x^{2} \; [/mm] + [mm] \;b_{1} \;x\; [/mm] + [mm] \;c_{1} \; [/mm] = [mm] \;\left( {x\; - \;x_{1} } \right)\;\left( {x\; - \;\overline {x_{1} } } \right)\; [/mm] = [mm] \;x^{2} \; [/mm] + [mm] \;\left( {x_{1} \; + \;\overline {x_{1} } } \right)\;x\; [/mm] + [mm] \;x_{1} \;\overline {x_{1} } [/mm] $ ein.
Dann habe ich
[mm] x^2+2ax-ib^2.
[/mm]
Ist das so richtig? Was bringt mir das jetzt fürs weitermachen?
Was meinst du mit zweiten quadratischen Polynom??
Und bei
$ [mm] 1\; [/mm] = [mm] \;\left( {A\;x\; + \;B} \right)\;\left( {x^{2} \; + \;b_{2} \;x\; + \;c_{2} } \right)\; [/mm] + [mm] \;\left( {C\;x\; + \;D} \right)\;\left( {x^{2} \; + \;b_{1} \;x\; + \;c_{1} } \right) [/mm] $
[mm] 1=Ax^3+Ab_{2}x^2+Ac_{2}x+Bx^2+Bb_{2}x+c_{2}+Cx^3+Cb_{1}x^2+Cc_{1}x+Dx^2+Db_{1}x+Dc_{1}
[/mm]
Das sieht mir komisch aus oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Di 10.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
MathePower hat Recht, wie könnte ich auch einem Lehrmeister von mir widersprechen ? *g*
Aber ich würd schon am Anfang
[mm] 1+x^{4}=(1+ \wurzel{2}+x^{2})((1- \wurzel{2}+x^{2})
[/mm]
benutzen und damit die Partialbruchzerlegung machen.
Würd doch einfach gehen, oder ?
Natürlich würdest auf die Zahlen auch so kommen,....
Faenôl
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