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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 06.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
[mm] (i) \ \ \ \integral x^2 \sin (x) dx \\
(ii) \ \ \ \integral \cos ( \log(x)) dx [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Ich bin dabei gerade diese Inegrale zu rechenen und habe bei der Teilaufgabe (i) mittels partieller Integration das folgende Ergebnis herausbekommen:
[mm] \integral x^2 \sin (x) dx = x^2 ( - \cos(x) ) - \integral 2x ( - \cos(x)) dx [/mm]
Weiterhin ist dann
[mm] \integral 2x ( - \cos(x)) dx = 2x (- \sin(x)) - \integral 2 (- \sin(x)) dx = 2x (- \sin(x)) - 2 \cos(x) [/mm]
Insgesamt ergibt sich dann:
[mm] \integral x^2 \sin (x) dx = x^2 (- \cos(x)) - 2x (- \sin (x) ) + 2 \cos (x) [/mm]
Ist das so richtig?
Bei dem Aufgabenteil (ii) habe ich aber leider meine Schwierigkeiten, und zwar:
Wir sollen ja versuchen diese Aufgabe mittels partieller Integration zu lösen, aber da (ii) nicht in der erwünschten Form steht, muss ich ja als erstes dieses erreichen. So habe ich dann als erstes mit Hilfe von Substitution folgendes erreicht:
Ich habe [mm] \log (x) = u [/mm] gesetzt und somit [mm] x = e^u [/mm] und [mm] dx = e^u du [/mm] erhalten. Dann folgt
[mm] \integral \cos ( \log(x) ) dx = \integral \cos (u) e^u du [/mm]
Nun kann ich die partielle Integration anwenden, aber ich komme in so eine Schleife und nicht zum Ziel :-( . Und zwar:
[mm] \integral \cos ( \log(x) ) dx = \integral \cos (u) e^u du = \cos (u) e^u - \integral (- \sin (u) ) e^u du = \cos (u) e^u + \integral \sin (u) e^u du = \cos (u) e^u + \sin (u) e^u - \integral \cos (u) e^u du [/mm]
So und nun stehe ich wieder am Anfang :-( .... Was habe ich falsch gemacht? Oder geht diese Aufgabe vielleicht garnicht so?
Viele Grüße
Irmchen
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du stehst im grunde wieder am anfang aber irgentwie bist du genau desshalb auch schon so gut wie fertig ;)
du hasst sowohl auf der linken als auch auf der rechten seite das selbe integral stehen (einmal mit -)
warum addierst du nicht einfach mal das komplette integral, sodass es rechts einfach ganz wegfällt?
dann hasste die lösung quasi schon da stehen ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Di 06.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Erstmal danke für die schnelle Hilfe!
Also, dann sieht das doch folgendermaßen aus:
[mm] \integral \cos (u) e^u du = \cos (u) e^u + \sin (u) e^u - \integral \cos (u) e^u du [/mm]
Dann addiere ich das Integral auf der rechten Seite weg und bekomme dann insgesamt folgendes heraus:
[mm] \integral \cos (u) e^u du = \bruch{1}{2} e^u ( \cos (u) + \sin (u) ) [/mm] .
Ist das jetzt erstmal so richtig?
Wenn das so o.k ist, dann muss ich ja noch rücksubstituieren, und bekomme als Endergebnis:
[mm] \integral \cos (\log (x)) dx = \bruch{1}{2} x ( \cos ( \log (x)) + \sin ( \log (x)) ) [/mm].
Richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Stimmt soweit! Obwohl das log sicher immer ein ln sein sollte!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Und ja, deine 1. Integration ist auch richtig :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein zweites Integral kannst du auch direkt mit part. Integration (auch 2mal) lösen indem du den Integranden als 1*cos(ln(x)) schreibst und u'=1 v=cos(ln(x))
nimmst.
bei ln ist dieses "1 ist auch ne fkt." oft ne gute Idee. (wird ja auch benutzt um lnx zu integrieren.)
Gruss leduart
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