Unbestimmte Integrale < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:19 Di 17.02.2009 | | Autor: | Herecome |
| Aufgabe | Berechnen sie die folgenden unbestimmten Integrale:
1. [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{(1+\wurzel[3]{x})^2} dx}
[/mm]
2. [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^4+1}{x^6+1} dx}
[/mm]
3. [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(3+x^2)\wurzel{3-x^2}} dx}
[/mm]
4. [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+cos(ax)}dx} [/mm] |
Hallo Mahte Raum!
Brauch bei der Aufgabe mal dringend einen Tipp wie ich da rangehen soll...
Bei 1. hab ich es mit Substitution versucht. hab [mm] t=\wurzel[3]{x} [/mm] gesetzt, aber hilft nicht viel weiter... Mit Partieller Integration hats bei mir irgendwie auch nicht geklappt, und jetzt hoff ich auf eure Tipps.. :)
Bei 2. siehts ähnlich aus. [mm] x^4=t [/mm] gesetzt, oder [mm] x^2, [/mm] habs auch mit [mm] x^4+1 [/mm] versucht, aber ich komm einfach nicht weiter.
Und bei 3. kann ich mir gar keinen Reim drauf machen. würds was bringen wenn ich da [mm] 3+x^2 [/mm] substituier? sieht so nach arctan aus??
und zu 4 hab ich eine Lösung, und wollt wissen ob ich da richtig vorgegangen bin:
cos(ax)=a [mm] cos^2(x)-1
[/mm]
also: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{acos^2(x)} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} \integral_{}^{}{\bruch{1}{cos^2(x)} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] tan(x) + C
Dank schon mal im voraus, LG :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herecome!
Das stimmt so nicht. Wie kommst Du auf diese vermeintliche Gleichheit von [mm] $\cos(a*x)$ [/mm] und [mm] $a*\cos^2(x)-1$ [/mm] .
Erweitere statt dessen den Ausgangsbruch mit [mm] $\left[ \ 1-\cos(a*x) \ \right]$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Di 17.02.2009 | | Autor: | Herecome |
Kommt dann etwa Null raus? oder hab ich jetzt wieder falsch gerechnet? Hier mein Weg:
Nach deinem Tipp erweitert: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1-cos(ax)}{1-cos^2(ax)} dx}
[/mm]
es gilt ja [mm] 1-cos^2(ax) [/mm] = [mm] sin^2(ax)
[/mm]
also [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1-cos(ax)}{sin^2(ax)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{sin^2(ax)} - \bruch{cos(ax)}{sin(ax)} * \bruch{1}{sin(ax) } dx}
[/mm]
Substitution: t=sin(ax) , t´= a cos(ax) dx= [mm] \bruch{1}{a cos(ax)} [/mm] dt
also [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2}-\bruch{cos(ax)}{t} * \bruch{1}{t} * \bruch{1}{acos(ax)} dt}
[/mm]
der cos kürzt sich raus, bleibt [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2}-\bruch{1}{t^2} * \bruch{1}{a} dx} [/mm] = 0
oder wo liegt mein Fehler??
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herecome!
> also [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1-cos^2(ax)}{sin^2(ax)} dx}[/mm] =
Wo zauberst du denn hier das Quadrat im Zähler her?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Di 17.02.2009 | | Autor: | Herecome |
sorry, Tipfehler, war schon [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1-cos(ax)}{sin^2(ax)} dx}
[/mm]
hab auch ohne quadrat gerechnet.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herecome!
> also [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2}-\bruch{cos(ax)}{t} * \bruch{1}{t} * \bruch{1}{acos(ax)} dx}[/mm]
Das stimmt so nicht, da Du beim vorderen Bruch nicht korrekt das Differential $dx_$ in $dt_$ umwandelst (bzw. gar nicht!).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Di 17.02.2009 | | Autor: | Herecome |
aber mein dx ist doch [mm] \bruch{1}{acos(ax)} [/mm] dt ?? hab ich doch gemacht.
wo liegt denn mein fehler??
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herecome!
> aber mein dx ist doch [mm]\bruch{1}{acos(ax)}[/mm] dt ??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> hab ich doch gemacht.
Aber nur beim 2. Bruch, nicht beim ersten!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Di 17.02.2009 | | Autor: | Herecome |
oh...
muss man dass bei beiden dann machen?
hmm... ok, habs versucht, komm auf was ganz komisches...
Ansatz bei
t=sin(ax) t´=acos(ax) dx = [mm] \bruch{1}{acos(ax)} [/mm] dt
=> [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{t^2}*\bruch{1}{acos(ax)}-\bruch{cos(ax)}{t}*\bruch{1}{t}*\bruch{1}{acos(ax)} dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{a}\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2}*\bruch{1}{acos(ax)} dt} [/mm] - [mm] \bruch{1}{a}\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2} dt}
[/mm]
ich verzweifel bald noch... ;)
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Hallo Herecome,
Du hast Recht, das sieht eher komplizierter aus als vorher.
Ich würde das Integral auch erst einmal ein bisschen mundgerechter umformen:
Es ist ja [mm] \cos{x}=\cos{\left(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{2}\right)}=\cos^2{\left(\bruch{x}{2}\right)}-\sin^2{\left(\bruch{x}{2}\right)}=2\cos^2{\left(\bruch{x}{2}\right)}-1
[/mm]
Damit wird aus Deinem Integral
[mm] \int{\bruch{1}{1+\cos{ax}}\ dx}=\bruch{1}{2}\int{\bruch{1}{\cos^2{\left(\bruch{ax}{2}\right)}}\ dx}
[/mm]
... und das sieht doch schon viel fröhlicher aus, zumal wenn man nicht nur die Ableitungen von Sinus und Cosinus kennt.
Grüße,
reverend
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> t=sin(ax) [mm] t´=\red{acos}(ax) [/mm] dx = [mm]\bruch{1}{\red{acos}(ax)}[/mm] dt
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{t^2}*\bruch{1}{\red{acos}(ax)}-\bruch{cos(ax)}{t}*\bruch{1}{t}*\bruch{1}{\red{acos}(ax)} dt}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{a}\integral{\bruch{1}{t^2}*\bruch{1}{\red{acos}(ax)} dt}-\bruch{1}{a}\integral{\bruch{1}{t^2} dt}[/mm]
Nur zu deiner Schreibweise:
"Y = acos(X) returns the inverse cosine
(arccosine) for each element of X"
Das hast du doch wohl nicht gemeint, oder ?
Also setze doch bitte einen Multiplikationspunkt, oder
wenn du unbedingt nur einen Zwischenraum willst,
die Kombination "\ " zwischen dem "a" und dem "cos"
(innerhalb von Formeln ignoriert TeX Zwischenräume !).
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Di 17.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Al, hallo Herecome,
bei korrekter TeX-Schreibweise bleibt [mm] a\cos{x} [/mm] eindeutig lesbar.
Die hierzu nötige Eingabe lautet a\cos{x}. So wird der Cosinus als Funktion erkannt und in anderem Schrifttyp dargestellt als die Variablen [mm] \a{}a [/mm] und [mm] \a{}x, [/mm] außerdem wird ein Hauch von Zwischenraum hinzugefügt, genug, um die Abgrenzung zu sehen.
Grüße,
reverend
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die speziellen Fonts für Funktionen behagen mir nicht
unbedingt - aber mit Multiplikationspunkten und gezielt
gesetzten kleineren und grösseren Zwischenräumen
geize ich nicht
LG
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> Berechnen sie die folgenden unbestimmten Integrale:
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> 1. [mm]\integral{\bruch{x}{(1+\wurzel[3]{x})^2} dx}[/mm]
> Bei 1. hab ich es mit Substitution versucht. hab
> [mm]t=\wurzel[3]{x}[/mm] gesetzt, aber hilft nicht viel weiter...
> Mit Partieller Integration hats bei mir irgendwie auch
> nicht geklappt, und jetzt hoff ich auf eure Tipps..
Hier sollte [mm] t=1+\wurzel[3]{x} [/mm] weiterhelfen !
> 2. [mm]\integral{\bruch{x^4+1}{x^6+1} dx}[/mm]
Hier bringt möglicherweise die Faktorisierung des
Nenners etwas (Idee: Partialbruchzerlegung)
Tipp dazu: [mm] a^3+b^3=(a^2-a*b+b^2)(a+b)
[/mm]
> 3. [mm]\integral{\bruch{1}{(3+x^2)*\wurzel{3-x^2}} dx}[/mm]
Hier geht es mit der Substitution [mm] t=\bruch{3}{x^2}-1
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
Anmerkung: Die ziemlich gesuchte Substitution für Nr. 3
habe ich tatsächlich gesucht: ich habe mich ein wenig
von Wolframs Heinzelmännchen inspirieren lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 17.02.2009 | | Autor: | Herecome |
> > 2. [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^4+1}{x^6+1} dx}[/mm]
>
> Hier bringt möglicherweise die Faktorisierung des
> Nenners etwas (Idee: Partialbruchzerlegung)
>
> Tipp dazu: [mm]a^3+b^3=a^2-a*b+b^2[/mm]
>
>
> LG
>
Aber der Nenner hat doch gar keine Nullstellen, geht es etwa trotzdem??
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> > > 2. [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^4+1}{x^6+1} dx}[/mm]
> >
> > Hier bringt möglicherweise die Faktorisierung des
> > Nenners etwas (Idee: Partialbruchzerlegung)
> >
> > Tipp dazu: [mm]a^3+b^3=(a^2-a*b+b^2)(a+b)[/mm]
> >
> >
> > LG
> >
> Aber der Nenner hat doch gar keine Nullstellen, geht es
> etwa trotzdem??
Hallo,
die kannst den Nenner doch schreiben als [mm] x^6+1=(x^2)^3+1^3 [/mm] und dann zerlegen.
Nullstellen hat Dir ja niemand versprochen, aber Du kannst es in quadratische Polynome ohne Nullstellen zerlegen.
Gruß v. Angela
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> 3. [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(3+x^2)\wurzel{3-x^2}} dx}[/mm]
> Und bei 3. kann ich mir gar keinen Reim drauf machen. würds
> was bringen wenn ich da [mm]3+x^2[/mm] substituier?
Hallo,
in dieser Frage steckt der Wurm: ob das was bringt, merkst Du, wenn Du's ausprobierst. Anders kann man das Integrieren nicht lernen.
Ich selbst würde mich erstmal auf die Wurzel stürzen und es mit [mm] x=\wurzel{3}sin [/mm] t versuchen.
Gruß v. Angela
> sieht so nach
> arctan aus??
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