Unbestimmtes Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 04.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo,
folgende Aufgabe:
[mm] \integral_{}^{} \bruch{5x}{x^{2}-5x-14}
[/mm]
Meine Frage:
Wie geht man an so eine Aufgabe ran? Substitution oder geht auch ein anderer Weg? Wie oder Wann erkennt man, ob eine Aufgabe mittels Sub.
gelöst werden kann oder nicht.
Gruß
larlib
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Hi larlib,
ich weiß nicht ob dir das Stichwort Partialbruchzerlegung etwas sagt. Als Tipp sei erwähnt, dass man den Nenner umschreiben kann:
[mm] $x^2-5x-14=(x-7)(x+2)$
[/mm]
Der Integrand ist ja ein Bruch, wenn man sich den faktorisierten Nenner ansieht, kann man erkennen, dass dieser Bruch durch die Summe zweier andere Brüche entsteht. Jetzt musst du nur noch überlegen, welche Zähler die beiden Brüche haben müssen, damit sie tatsächlich den Integranden ergeben. Wenn du den Integranden dann erstmal in die beiden Brüche zerlegt hast, wirst du sicher wissen, wie man das Integral bestimmt.
Wenn du weitere Hilfen brauchst sag Bescheid.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 04.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo,
habs versucht, komme aber nicht weiter
Aufgabe:
[mm] \integral_{}^{} \bruch{5x}{x^{2}-5x-14} [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} \bruch{5x}{(x+2)(x-7)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-7}
[/mm]
Auf HN bringen:
[mm] \bruch{Ax-7A+Bx+2B}{(x+2)(x-7)}
[/mm]
und wie geht es dann weiter?
Hänge hier fest...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
[mm] \bruch{5x}{(x+2)(x-7)} = \bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-7}
= \bruch{Ax-7A+Bx+2B}{(x+2)(x-7)}=\ldots[/mm]
> und wie geht es dann weiter?
> Hänge hier fest...
Jetzt noch den Zähler nach Potenzen von $x$ sortieren.
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] \frac{(A+B)x+ (2B-7A)}{(x+2)(x-7)}$
[/mm]
Jetzt kannst du weil du ja den tatsächlichen Zähler $5x+0$ kennst zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten $A$ und $B$ aufstellen.
Hau rein!  Das läuft doch super.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Fr 04.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo Brackhaus,
kann man es auch so machen, ohne es auszumultiplizieren!?!
Bestimmung der Konstante A und B:
5 x = A ( x-7 ) + B ( x + 2 )
Zu A)
5 x = A ( x - 7 )
5 * ( - 7 ) = A ( - 7 - 7 )
-35 = -14 A
A = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
Zu B)
5 x = B( x + 2 )
5 * ( 2 ) = B ( 4 )
10 = 4 B
B = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
Ist das korrekt, wenn ja wie gehts weiter???
Gruß
larlib
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Soldi01 |
In diesem Fall geht die Berechnung von A und B relativ simpel:
[mm] \bruch{5x}{(x+2)(x-7)}=\bruch{A}{x+2} + \bruch{B}{x-7} [/mm]
1. Multipliziere beide Seiten mit [mm] (x+2)[/mm] dann erhälst du ja folgende gleichung: [mm] \bruch{5x*(x+2)}{(x+2)(x-7)} = A + \bruch{B(x+2)}{x-7}[/mm]
so nun willste in der rechten Gleichung B eliminieren .... das tust du natürlich in dem du [mm] x=-2 [/mm] einsetzt (achte auf der linken seite kannst du [mm] (x+2) [/mm] wegkürzen ... und siehe da es steht folgendes da:
[mm] \bruch{5*-2}{-2-7}=A [/mm] Analog dazu suchst du B...
Nun zum Integrieren:
Deine Gleichung müsste nun diese Form aufweisen (soweit ich mich nicht verrechnet habe):
[mm] \integral {\bruch{5x}{(x+2)(x+7)}dx} = \integral {\bruch{10}{9(2+x)}dx} - \integral{ \bruch{35}{9(7-x)}dx} [/mm]
so und rest solltest du hoffentlich selber schaffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Fr 04.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo,
meine Frage war ja, ob man es so machen könnte um A und B zu berechnen.
Hab aber auch andere Werte für A und B raus.
Kann ich dann davon ausgehen, dass mein Ansatz nicht so gut war???
Gruß
larlib
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Ja. Siehe meine Antwort auf deine vorherige Rückfrage.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Also nochmal deutlich, deine Werte für $A$ und $B$ sind leider falsch. Die Lösung von Soldi01 ist natürlich elegant. Ansonsten habe ich noch die folgende Variante mit Koeefizientenvergleich.
Wir wollen ja, dass gilt
$5x+0=(A*B)x+(2B-7A)$
damit bei der Addition der beiden Brüche der Integrand als Summe herauskommt. Die einzige Möglichkeit das zu erreichen ist wenn gleichzeitig
$A+B=5$ und
$2B-7A=0$ gilt. Also Gleichungssystem lösen durch Additions-/Subtraktionsverfahren:
$7A+7B=35$
$2B-7A=0$
$7A+7B=35$
$9B=35$
Damit erhält man aus der zweiten Gleichung [mm] $B=\frac{35}{9}$. [/mm] Einsetzen in $A+B=5$ erhält man [mm] $A=\frac{10}{9}$.
[/mm]
Daher erhalt ich im Gegensatz zu Soldi01 zwei positive Lösungen und damit
$ [mm] \integral {\bruch{5x}{(x+2)(x+7)}dx} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{10}{9(2+x)}dx}$[red]$+$[/red]$\integral{ \bruch{35}{9(x-7)}dx} [/mm] $
PS: Ich glaube Soldi01 hat das Minuszeichen aus dem Nenner des zweiten Integranden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Sa 05.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo ihr beiden,
man oh man, das war für mich doch schon ne schwere Geburt.
Ich hab es gerafft!
Aber noch ne kleine Frage:
Falls [mm] \bruch{5x}{x^{2}-5x-14} [/mm] gegeben ist, kann ich auch die Nullstellen mittels PQ Formel suchen?
Also kommt ja aufs selbe drauf raus.
So hab ich es zumindest nachlesen können.
Gruß
larlib
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Soldi01 |
Jep mittels PQ Formel....
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