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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Fr 08.01.2010 | | Autor: | denker77 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{f(x) 2x+2/x^{2}+x+1dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie ist der genaue Lösungsweg?
Was ich bisher weiß ist, dass ich zunächst aus dem Nenner die ersten beiden Ableitungen in den Zähler schreibe, dann habe ich zwei Integrale der Form f'(x) / x²+x+1 und ein Integral f''(x)/x²+x+1. Wobei f(x) der Nenner wäre.
dann kommt für das erste integral ln(x²+x+1) raus, dann komme ich nicht mehr weiter.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: docx) [nicht öffentlich]
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Hallo denker77 und ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) 2x+2/x^{2}+x+1dx}[/mm]
Da steht Kauderwelsch unter dem Integral. Was hat zum einen das f(x) da verloren? Und wieso setzt du keine Klammern, wenn du den Formeleditor schon nicht benutzt.
Schließlich gilt in Europa immer noch Punkt- vor Strichrechnung!
Nun, gemeint ist wohl eher [mm] $\int{\frac{2x+2}{x^2+x+1} \ dx}$
[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Wie ist der genaue Lösungsweg?
Das steht doch im Anhang ...
Zunächst kannst du schreiben [mm] $\int{\frac{2x+2}{x^2+x+1} \ dx}=\int{\frac{(2x+1)+1}{x^2+x+1} \ dx}=\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx}$ [/mm] da Integrale additiv sind ...
Nun ist das erste Integral ein logarithmisches, wo im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Es ist also von der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$.
[/mm]
Das hat bekanntlich als Stammfunktion [mm] $\ln(|f(x)|)+C$
[/mm]
Das kannst du nachrechnen (auch im allg. Fall), indem du den Nenner substituierst. Also hier [mm] $u=u(x):=x^2+x+1$ [/mm] (bzw. allg. $u=u(x):=f(x)$)
Das zweite Integral ist ein wenig schwieriger, aber nicht so schlimm, wenn du dich daran erinnerst, was [mm] $\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}$ [/mm] ist.
Das kennst du sicher: [mm] $\arctan(z)+C$
[/mm]
Von daher betrachte mal [mm] $\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx}$ [/mm] und mache eine quadratische Ergänzung im Nenner:
[mm] $=\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} \ dx}=\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ dx}$
[/mm]
Nun klammere noch im Nenner [mm] $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ [/mm] aus und du wirst auf eine passende Substitution kommen, um das auf die Form [mm] $K\cdot{}\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}$ [/mm] zu bringen.
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> Was ich bisher weiß ist, dass ich zunächst aus dem Nenner
> die ersten beiden Ableitungen in den Zähler schreibe, dann
> habe ich zwei Integrale der Form f'(x) / x²+x+1 und ein
> Integral f''(x)/x²+x+1. Wobei f(x) der Nenner wäre.
>
> dann kommt für das erste integral ln(x²+x+1) raus, dann
> komme ich nicht mehr weiter.
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Fr 08.01.2010 | | Autor: | denker77 |
Vielen Dank für die Antwort, so kann ich das ganz gut nachvollziehen.
Mit dem Editor muss ich mich noch anfreunden 
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