Uneigentliche Integrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Molch |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{0} {\ln(\bruch{t}{\wurzel{t^{2}+1}}) dt} [/mm] |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit der angefügten Aufgabe.
Es gilt den Wert des uneigentlichen Integrals zu bestimmen, sollte es existieren.
Mein Rechenweg lautet bisher:
[mm] \integral_{1}^{0} {\ln(\bruch{t}{\wurzel{t^{2}+1}}) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{0} {\ln(t) dt} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{0} {\ln(\wurzel{t^{2}+1}) dt}
[/mm]
= [mm] \limes_{c\rightarrow\(0+0)}[t*\ln(t)-t](Integrationsgrenzen: [/mm] c, 1) - [mm] \limes_{c\rightarrow\(0+0)}(\integral_{1}^{c} {\bruch{1}{2}\ln(t^{2}+1) dt})
[/mm]
Ist die Zerlegung des Terms bei der Aufgabe dienlich (ich wüsste nicht, welche Substitution den Term vereinfachen würde) und wie gelingt die Integration des letzten Terms, bzw. mit welcher Substitution?
Ich bin für jeden Tipp und Denkanstoß sehr dankbar!
Ich wünsche noch einen schönen Abend!
Gruß, Molch
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Molch
Ich denk, es geht wie oft beim log mit partieller Integration, indem du 1*ln(..); 1=u', ln(..)=v setzest. die Aufteilung machts nur schlimmer, es sei denn derselbe Trick geht für dein zweites Integral. (hab beides nicht nachgerechnet)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Die Zerlegung ist nützlich, denn das erste Integral ist wegen
[mm]\lim_{x \to 0} \left( x \ln{x} \right) \ = \ 0[/mm]
konvergent und das zweite an der oberen Grenze 0 gar nicht mehr uneigentlich. Und in der Tat geht es mit leduarts Trick weiter: partielle Integration mit [mm]u'=1[/mm] starten.
Wenn du alles richtig rechnest, erhältst du [mm]\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln{2}[/mm] als Wert des Integrals.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Molch |
Danke für die schnelle Hilfe!
Daran hatte ich garnicht gedacht, ich war wohl ein wenig zu sehr auf die Zerlegung fixiert.
Noch ein schönes Wochenende!
Gruß, Molch
|
|
|
|
