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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 02.08.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Berechne das uneigentliche Riemann-Integral
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x*\sin(x)}{(1+x^{2})^{2}} dx}[/mm] |
Hi,
die oben stehende Aufgabe löst man ja, indem man die Residuen ausrechnet und folgende Formel verwendet:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{p(x)}{q(x)} dx} = 2*\pi*i * \summe_{Im z_{0} > 0} Res_{z_{0}}(p/q)[/mm]
Also rechne ich die isolierten SIngularitäten aus:
dabei bekomm ich [mm]z_{0} = i[/mm] und [mm]z_{1} = -i[/mm] raus.
Da man nur die Residuen mit Imaginär-Teil > 0 betrachten muss, rechne ich also nur das Residuum von [mm]z_{0}[/mm] aus.
Da i eine doppelte Nullstelle 2. Ordnung ist, verwende ich folgende Formel:
[mm]Res_{i}(\bruch{f}{g}) = 2 * \bruch{f'(z_{0})}{g''(z_{0})} - \bruch{2 * f(z_{0}) * g'''(z_{0})}{3*(g''(z_{0}))^{2}}[/mm]
Also erstmal die Ableitungen ausrechnen:
[mm] f(z) = z * \sin(z) [/mm]
[mm] f'(z) = \sin(z) + z * \cos(z) [/mm]
[mm] g(z) = (1 + z^{2})^{2} [/mm]
[mm] g'(z) = 2(1 + z^{2})*2z = 4z^{3} + 4z [/mm]
[mm] g''(z) = 12z^{2} + 4 [/mm]
[mm] g'''(z) = 24z [/mm]
Wenn ich das jetzt in die Formel einsetze, erhalte ich:
[mm]Res_{i}(\bruch{f}{g}) = \bruch{2*\sin(i)+i*cos(i)}{-12 + 4} - \bruch{2*i*\sin(i)*24i}{3*(-12+4)^{2}}[/mm]
[mm] = - \bruch{\sin(i) + i * \cos(i)}{4} + \bruch{\sin(i)}{4}[/mm]
[mm] = - \bruch{i*\cos(i)}{4}[/mm]
joa, und dann hört's bei mir auf.
Als Lösung für das Integral würd ich dann nur noch angeben:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x*\sin(x)}{(1+x^{2})^{2}} dx} = \bruch{1}{2} * \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x*\sin(x)}{(1+x^{2})^{2}} dx} = \bruch{1}{2} * 2*\pi*i * (- \bruch{i*cos(i)}{4}) = \bruch{1}{4} * \pi * \cos(i)[/mm]
Aber was ist [mm]\cos(i)[/mm] ?? Da müsste doch eigentlich eine reelle Zahl rauskommen?
Hab ich mich nur irgendwo verrechnet?
Bin für jeden Tipp dankbar.
Danke,
Jonas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Do 02.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jonas,
> Berechne das uneigentliche Riemann-Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x*\sin(x)}{(1+x^{2})^{2}} dx}[/mm]
>
> Hi,
>
> die oben stehende Aufgabe löst man ja, indem man die
> Residuen ausrechnet und folgende Formel verwendet:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{p(x)}{q(x)} dx} = 2*\pi*i * \summe_{Im z_{0} > 0} Res_{z_{0}}(p/q)[/mm]
Vorsicht! Diese Formel gilt nur, wenn das Wegintegral über den Halbkreis zum Schließen der Kurve verschwindet. Ist das hier der Fall? Der Sinus ist in der oberen Halbebene nicht beschränkt. Ich vermute, dass du den Beitrag dieses Halbkreises ausrechnen musst, ich habe es aber nicht nachgerechnet.
> [mm]= - \bruch{i*\cos(i)}{4}[/mm]
[mm] \cos(i) = \cosh(1)[/mm]. Benutze [mm]cos x = \bruch{1}{2}(\mathrm{e}^{ix}+\mathrm{e}^{-ix})[/mm].
Grüße
Rainer
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Hier bietet sich wohl eine Mischung reeller und komplexer Methoden an. Zunächst zeigt partielle Integration mittels [mm]\int \frac{x}{\left( 1 + x^2 \right)^2}~\mathrm{d}x = - \frac{1}{2 \left( 1 + x^2 \right)}[/mm] die Beziehung
[mm]\int \limits_0^{\infty} \frac{x \sin{x}}{\left( 1 + x^2 \right)^2}~\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \limits_0^{\infty} \frac{\cos{x}}{1 + x^2}~\mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int \limits_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos{x}}{1 + x^2}~\mathrm{d}x[/mm]
Und hier kommt man dann mit
[mm]\int \limits_{- \infty}^{\infty} f(x) \, \cos{x}~\mathrm{d}x = \Re{\left( 2 \pi \operatorname{i} \sum_{\Im(z)>0} \operatorname{Res}_{\, z} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} f(z) \right) \right)}[/mm]
wobei sich die Summation über die Pole der oberen Halbebene erstreckt, weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Jonez |
puh, okay danke. Die untere Formel versteh ich, aber ich hab absolut keine Ahnung wie ich in der Prüfung dann jemals darauf kommen soll:
[mm] \int \limits_0^{\infty} \frac{x \sin{x}}{\left( 1 + x^2 \right)^2}~\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \limits_0^{\infty} \frac{\cos{x}}{1 + x^2}~\mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int \limits_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos{x}}{1 + x^2}~\mathrm{d}x [/mm]
gibt's da irgendeinen Trick wie man sowas sieht, dass man da nen Teil partiell integrieren muss?  ..
Danke,
Jonas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
okay ich hab es jetzt nochmal versucht :)
Also es gilt ja:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x*\sin(x)}{(1 + x^{2})^{2}} dx} = \integral_{-\infty}^{0}{\bruch{x*\sin(x)}{(1 + x^{2})^{2}} dx} = \bruch{1}{2} * \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x*\sin(x)}{(1 + x^{2})^{2}} dx} [/mm]
Im Vorlesungsscript hab ich folgende Formel gegeben:
Sei [mm] g(z) = f(z) * e^{i \alpha z}[/mm]
Dann folgt daraus:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x)*\sin(\alpha x) dx} = Im(2 \pi i * \summe_{Im z_{j} > 0} Res_{z_{j}}g + \pi i * \summe_{Im x_{j} = 0} Res_{x_{j}}g)[/mm]
Dann hab ich also:
[mm] f(z) = \bruch{z}{(1 + z^{2})^{2}}[/mm] und [mm] g(z) = \bruch{z * e^{i z}}{(1 + z^{2})^{2}}[/mm]
Da f ja einen Pol 2. Ordnung bei i und -i hat, und ich nur die Singularitäten mit nicht negativem Imaginärteil betrachten muss, rechne ich also das Residuum von g an der Stelle i aus.
Dabei kommt raus: [mm] Res_{i} g = \bruch{e^{-1}}{4} [/mm]
Damit rechne ich dann das Integral aus:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x*\sin(x)}{(1 + x^{2})^{2}} dx} = \bruch{1}{2} * Im(2 \pi i * \bruch{e^{-1}}{4}) = \bruch{\pi * e^{-1}}{4} [/mm]
Kann das so einigermaßen stimmen?
Falls ich mich nur beim Residuum verrechnet hab, ist es nicht so schlimm, aber vom Weg her?
Danke,
Jonas
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Ich führe einmal meinen Weg zu Ende:
[mm]\frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{z^2 + 1} = \frac{1}{z - \operatorname{i}} \cdot \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{z + \operatorname{i}}[/mm]
Der zweite Faktor ist holomorph bei [mm]z = \operatorname{i}[/mm] mit Wert [mm]\frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}^2}}{\operatorname{i} + \operatorname{i}} = \frac{1}{2 \operatorname{i} \operatorname{e}}[/mm]. Dieser Wert ist daher zugleich das Residuum bei [mm]z = \operatorname{i}[/mm], woraus sich
[mm]\frac{1}{4} \int \limits_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos{x}}{x^2 + 1} = \frac{1}{4} \cdot \Re{\left( 2 \pi \operatorname{i} \cdot \frac{1}{2 \operatorname{i} \operatorname{e}} \right)} = \frac{\pi}{4 \operatorname{e}}[/mm]
Das ist derselbe Wert, den auch du gefunden hast. Es spricht daher viel dafür, daß wir beide richtig liegen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Ha klasse, danke !! :)
Dann hab ich's ja doch zumindest einigermaßen verstanden und hoff mal das nix komplizierteres in der Prüfung drankommt.
Danke,
Jonas
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