Uneigentliche Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 06.02.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=mathe3d82e6.jpg |
Bräuchte mal einen Tipp, wie ich da rangehe, habe erstmal an Substitution gedacht mit [mm] z=x^2+1, [/mm] aber dann bleibt der Rest vom Nenner ja noch stehen, hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> http://www.myimg.de/?img=mathe3d82e6.jpg
> Bräuchte mal einen Tipp, wie ich da rangehe, habe erstmal
> an Substitution gedacht mit [mm]z=x^2+1,[/mm] aber dann bleibt der
> Rest vom Nenner ja noch stehen, hat jemand eine Idee?
Tipp: Partialbruchzerlegung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 06.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, das geht also doch, jetzt noch eine Frage und zwar zur doppelten Nullstelle, passt mein Ansatz so?
[mm] \bruch{Ax+B}{x^2+1}+\bruch{Cx}{(x-1)^2}=\bruch{-2x}{(x^2+1)(x-1)^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, das geht also doch, jetzt noch eine Frage und zwar zur
> doppelten Nullstelle, passt mein Ansatz so?
>
> [mm]\bruch{Ax+B}{x^2+1}+\bruch{Cx}{(x-1)^2}=\bruch{-2x}{(x^2+1)(x-1)^2}[/mm]
Dieser Ansatz idt nicht richtig !
Richtig:
[mm] \bruch{-2x}{(x^2+1)(x-1)^2}= \bruch{Ax+B}{x^2+1}+\bruch{C}{x-1}+\bruch{D}{(x-1)^2}
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 06.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Noch eine allgemeine Frage:
Wenn ich beispielsweise die 0 als doppelte Nullstelle hätte, würde das dann so aussehen?
[mm] ...=...+...+\bruch{C}{x}+\bruch{D}{x^2}
[/mm]
Und wenn ich eine dreifache Nullstelle hätte, z.B. die 1:
[mm] ...=...+...+\bruch{C}{(x-1)}+\bruch{D}{(x-1)^2}+\bruch{E}{(x-1)^3}
[/mm]
Würde das so stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine allgemeine Frage:
>
> Wenn ich beispielsweise die 0 als doppelte Nullstelle
> hätte, würde das dann so aussehen?
>
> [mm]...=...+...+\bruch{C}{x}+\bruch{D}{x^2}[/mm]
Ja
>
> Und wenn ich eine dreifache Nullstelle hätte, z.B. die 1:
>
> [mm]...=...+...+\bruch{C}{(x-1)}+\bruch{D}{(x-1)^2}+\bruch{E}{(x-1)^3}[/mm]
>
> Würde das so stimmen?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mo 06.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, habe nun:
[mm] -2x=(Ax+B)(x^2-2x+1)+C(x^3-x^2+x-1)+D(x^2+1)
[/mm]
[mm] -2x=Ax^3-2Ax^2+Ax+Bx^2-2Bx+B+Cx^3-Cx^2+Cx-C+Dx^2+D
[/mm]
[mm] -2x=x^3(A+C)+x^2(B-2A-C+D)+x(A-2B+C)+(B-C+D)
[/mm]
=>
A+C=0
B-2A-C+D=0
A-2B+C=-2
B-C+D=0
=>
A=0
B=1
C=0
D-1
=>
[mm] \int_{a}^{b} \bruch{1}{x^2+1}\, dx+\int_{a}^{b} \bruch{1}{x^2-2x+1}\, [/mm] dx
Das erste wäre der arctan(x), aber wie gehe ich an das zweite Integral ran? Kann ich da nochmal eine Partialbruchzerlegung machen? Eigentlich nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, habe nun:
>
> [mm]-2x=(Ax+B)(x^2-2x+1)+C(x^3-x^2+x-1)+D(x^2+1)[/mm]
>
> [mm]-2x=Ax^3-2Ax^2+Ax+Bx^2-2Bx+B+Cx^3-Cx^2+Cx-C+Dx^2+D[/mm]
>
> [mm]-2x=x^3(A+C)+x^2(B-2A-C+D)+x(A-2B+C)+(B-C+D)[/mm]
>
> =>
>
> A+C=0
> B-2A-C+D=0
> A-2B+C=-2
> B-C+D=0
>
> =>
>
> A=0
> B=1
> C=0
> D-1
Ich habs nicht nachgerechnet ! Aber Du meinst sicher D=1.
>
> =>
>
> [mm]\int_{a}^{b} \bruch{1}{x^2+1}\, dx+\int_{a}^{b} \bruch{1}{x^2-2x+1}\,[/mm]
> dx
>
> Das erste wäre der arctan(x), aber wie gehe ich an das
> zweite Integral ran? Kann ich da nochmal eine
> Partialbruchzerlegung machen?
Ne ! Das bringt doch nichts ! Es ist [mm] x^2-2x+1=(x-1)^2 [/mm] . Substituiere t=x-1
FRED
> Eigentlich nicht oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Mo 06.02.2012 | | Autor: | hubbel |
$ [mm] \int_{a}^{b} \bruch{1}{x^2+1}\, dx-\int_{a}^{b} \bruch{1}{x^2-2x+1}\, [/mm] $
D=-1 hab mich verschrieben:
Habe als Integral [mm] arctan(x)+\bruch{1}{x-1}:
[/mm]
Mit den Grenzen dann:
[mm] arctan(b)+\bruch{1}{b-1}-(arctan(0)-1)
[/mm]
Mit b gegen unendlich folgt:
[mm] \pi/2+1 [/mm] ist der Grenzwert.
Danke!
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