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Uneigentliche Integrierbarkeit: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:57 Sa 15.05.2004
Autor: Nick

Guten Tag,

ich hab' hier ein paar Multiple-Choice-Aufgaben. ICh bin mir bei den antworten nicht ganz sicher und wollte euch bitten mal drüber nachzuschauen:

Existiert [mm]\int_{-\infty}^{0} exp(x)/p(x)\, dx [/mm] für alle Polynome p verschieden vom Nullpolynom?

Ich hab da Nein angekreutzt, ich bin mir da aber nicht sicher, ich hab das rein intuitiv gemacht.

Dann noch die 3 fragen:

Unter einer stückweisen Eigenschaft einer Funktion [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] verstehen wir eine Eigenschaft, die die Einschränkungen der Funktion auf endlich viele offene Teilintervalle [mm](t_1,t_2)....(t_n,t_t_{n+1})[/mm] mit [mm][a,b]=\cup_{j=1}^n [t_j,t_{j+1}][/mm] hat. Dabei seien [mm]a=t_1 \in \IR \cup \{-\infty\}[/mm] und [mm]b=t_{n+1} \in \IR \cup \{\infty\}[/mm], sowie [mm]t_j < t_{j+1}[/mm] reell für alle 1<j<n.
Welche der folgenden Eigenschaften treffen auf die angegebenen Funktionen zu?

1) Stückweise monotone Funktionen [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] für [mm]a Also da habe ich angekreutzr das er R, uR und b ist, dass alle Antwortmöglichkeiten und das macht mich so unsicher. Aber müsste doch stimmen, oder?

2) Stückweise gleichmäßig stetige Funktionen [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] für [mm]a
Da hab ich auch wieder R, uR und b. Des macht mich noch stutziger. Aber ich meine dass das stimmen muss.

3)Stückweise konstante Funktionen [mm]f:[a,\infty] \rightarrow \IR [/mm] für reelles a

Da hab' ich nur uR.

Was meint ihr dazu?!Danke im voraus.

Nick

        
Bezug
Uneigentliche Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Sa 15.05.2004
Autor: Marc

Hallo nick,

> Existiert [mm]\int_{-\infty}^{0} exp(x)/p(x)\, dx[/mm] für alle
> Polynome p verschieden vom Nullpolynom?
>  
> Ich hab da Nein angekreutzt, ich bin mir da aber nicht
> sicher, ich hab das rein intuitiv gemacht.

Das würde ich auch sagen. Problematisch dürften die Nullstellen von [mm] $p(x)\in(-\infty,0)$ [/mm] werden, ich kann mir nicht vorstellen, dass an diesen Polstellen ein endlicher Flächeninhalt entsteht.

>  
> Dann noch die 3 fragen:
>  
> Unter einer stückweisen Eigenschaft einer Funktion
> [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] verstehen wir eine Eigenschaft, die
> die Einschränkungen der Funktion auf endlich viele offene
> Teilintervalle [mm](t_1,t_2)....(t_n,t_t_{n+1})[/mm] mit
> [mm][a,b]=\cup_{j=1}^n [t_j,t_{j+1}][/mm] hat. Dabei seien [mm]a=t_1 \in \IR \cup \{-\infty\}[/mm]
> und [mm]b=t_{n+1} \in \IR \cup \{\infty\}[/mm], sowie [mm]t_j < t_{j+1}[/mm]
> reell für alle 1<j<n.
>  Welche der folgenden Eigenschaften treffen auf die
> angegebenen Funktionen zu?

Wo sind denn die "angegebenen Funktionen"?

> 1) Stückweise monotone Funktionen [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm]
> für [mm]a
>  Also da habe ich angekreutzr das er R, uR
> und b ist, dass alle Antwortmöglichkeiten und das macht

Diese Satzkonstruktion verstehe ich nicht, was bedeutet "das er R, uR und b ist"? Und insbesondere: Was ist "uR"?

> mich so unsicher. Aber müsste doch stimmen, oder?
>  
> 2) Stückweise gleichmäßig stetige Funktionen
> [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] für [mm]a
>  
> Da hab ich auch wieder R, uR und b. Des macht mich noch
> stutziger. Aber ich meine dass das stimmen muss.
>  
> 3)Stückweise konstante Funktionen [mm]f:[a,\infty] \rightarrow \IR[/mm]
> für reelles a
>  
> Da hab' ich nur uR.

Fehlen da nicht jeweils die Definitionen von $f$? Ansonsten verstehe ich die Fragen nicht.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
Bezug
Uneigentliche Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Sa 15.05.2004
Autor: Nick

Sorry marc,

hatte vergessen zu schreiben, dass die Abkürzung R für Rieman-integriebar uR für uneigentlich-Riemann-integrierbar und b für beschränkt stehen. Die Funktionen sind auch nur so wie ich sie eingegeben habe angegeben.

Nick

Bezug
                        
Bezug
Uneigentliche Integrierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Sa 15.05.2004
Autor: Marc

Hallo Nick,

> hatte vergessen zu schreiben, dass die Abkürzung R für
> Rieman-integriebar uR für uneigentlich-Riemann-integrierbar
> und b für beschränkt stehen. Die Funktionen sind auch nur
> so wie ich sie eingegeben habe angegeben.

Ah, so langsam verstehe ich die Situation.
Es ist also gefragt, ob eine stückweise monotone/gleichmäßig stetige/konstante Funktion
a) Riemann-integrierbar
b) Uneigentlich-Riemann integrierbar
c) beschränkt

ist. Alles klar.

Wenn es keiner vor mir tut, werde ich mir später noch Gedanken dazu machen.

Viele Grüße,
Marc



Bezug
                        
Bezug
Uneigentliche Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Sa 15.05.2004
Autor: Marc

Hallo nick,

ich würde folgendes sagen:

Eine stückweise monotone Funktion (mit [mm] $a,b\in\IR$) [/mm] ist
a) i.a. nicht Riemann-integrierbar
b) i.a. nicht uneigentlich Riemann-integrierbar
c) i.a. nicht beschränkt
Gegenbeispiel für alle drei Punkte: $f(x)=1/x$

Eine stückweise gleichmäßig stetige Funktion (mit [mm] $a,b\in\IR$) [/mm] ist
a) Riemann-intbar wegen c)
b) wegen a) auch uneigentlich R-intbar
c) auch beschränkt (weil gleichmäßig stetige Funktionen auf beschkränkten Menge beschränkt sind)

Eine stückweise konstante Funktion (mit [mm] $a\in\IR,b\in\IR\cup{+\infty}$) [/mm] (hier fehlt ja auffälligerweise die Voraussetzung [mm] $b\in\IR$) [/mm]
a) i.a. nicht R-intbar
b) i.a. nicht uneigentlich R-intbar
c) aber beschränkt

Gegenbeispiel für a) und b)
[mm] $f:\IR^+\to\IR$ [/mm] (also $a=0, [mm] b=+\infty$) [/mm]
$f(x)=1$ für alle $x$ (eine konstante Funktion ist natürlich auch stückweise konstant).
Eine Integration würde deswegen in jedem Fall einen uendlich großen Wert ergeben, die Funktion ist also nicht R-intbar.

Jetzt schaue ich mir mal deine Ergebnisse an:
Wir stimmen nur in der stückweise gleichmäßig stetigen Funktion überein...

Viele Grüße,
Marc


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