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| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] f:[a,\infty] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funktion sodass f eingeschränkt auf [a,b] integrierbar ist für alle b>a.
Sei weiter
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{n}{f(x) dx} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] a.
Zu zeigen:
a) Existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} I_{n} [/mm] und ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0, dann existiert [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx}.
[/mm]
b) Kann auf die zweite Voraussetzung [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0 verzichtet werden? |
Hallo zusammen,
mir fällt es sehr schwer einen Ansatz zu finden.
Die Behauptung scheint zunächst offensichtlich, aber ich denke der entscheidene Punkt ist, dass man weiß, dass es für alle natürlichen Integralgrenzen funktioniert und nun darauf schließen möchte, dass es auch für alle dazwischen funktioniert.
Habe mir schon alle möglichen Sätze durchgelesen, aber kann momentan auch zum Beispiel gar nichts mit dem zweiten Tipp anfangen. Hat das was damit zu tun, dass man das Integral in eine Reihe 'umschreiben' könnte und die Reihe (dadurch dass die innere 'Folge' gegen 0 konvergiert) überhaupt konvergieren KANN und somit auch das Integral existieren Kann?
Wäre über jede Hilfe sehr dankbar :)
LG
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Nimm [mm]a=0[/mm] und [mm]f(x) = \sin(2 \pi x)[/mm] für [mm]x \in [0,\infty)[/mm]. Was erhält man in diesem Fall für [mm]I_n[/mm]? Und wie sieht es mit [mm]\int_0^{\infty} f(x) ~ \mathrm{d} x[/mm] aus?
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Okay. Also wenn ich mich nicht irre müsste der [mm] sin(2*\pi*n) [/mm] für alle natürlichen Zahlen n ja 0 sein. Also ist [mm] I_{n} [/mm] so auch gleich 0.
Aber das andere Integral dürfte ja eigentlich nicht existieren wenn man [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] nimmt. Also wenn man [mm] sin(2*\pi*b) [/mm] für b-> [mm] \infty [/mm] nimmt ist das ja nicht definiert wirklich.
Das würde bedeuten die zweite Bedingung braucht man.
Wüsste denn jemand wie man den ersten Teil beweist? Mir fällt da wirklich formal recht wenig ein.
Danke:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Fr 20.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Okay. Also wenn ich mich nicht irre müsste der
> [mm]sin(2*\pi*n)[/mm] für alle natürlichen Zahlen n ja 0 sein.
Ja, das stimmt.
> Also ist [mm]I_{n}[/mm] so auch gleich 0.
Das stimmt, aber ich fürchte Dir ist nicht klar warum. Rechne es doch einfach mal aus.
> Aber das andere Integral dürfte ja eigentlich nicht
> existieren wenn man [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> nimmt. Also wenn man [mm]sin(2*\pi*b)[/mm] für b-> [mm]\infty[/mm] nimmt ist
> das ja nicht definiert wirklich.
Das ist doch nur wages Zeug, argumentiere, z:B. so:
für n [mm] \in \IN [/mm] berechne mal [mm] J_n:=\integral_{0}^{n/2}{\sin(2 \pi x) dx}
[/mm]
Dann solltest Du sehen: die Folge [mm] (J_n) [/mm] ist divergent. Somit ex. [mm] \integral_{0}^{\infty}{\sin(2 \pi x) dx} [/mm] nicht.
> Das würde bedeuten die zweite Bedingung braucht man.
Jo, so ist es.
>
> Wüsste denn jemand wie man den ersten Teil beweist? Mir
> fällt da wirklich formal recht wenig ein.
Für b>a (b "groß") sei n:=[b].
Dann ist $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=I_n+ \integral_{n}^{b}{f(x) dx}$
[/mm]
Wegen $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0$ bekommst Du [mm] \integral_{n}^{b}{f(x) dx} [/mm] "klein".
So, nun fülle diesen Tipp mit Leben und exakter Mathematik.
FRED
>
> Danke:)
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So ich hatte mich die Tage nochmal dran gesetzt und verstehe soweit auch alles komplett. Nur das letzte Intgral "klein" zu kriegen fällt mir wohl doch noch schwer ;)
Vom Sinn her ist es völlig logisch, dass das Ingegral im Endeffekt wegfällt und somit nur noch [mm] I_{n} [/mm] "übrig" bleibt und darüber wissen wir ja schon, dass es existiert. Zwischen n und b müsste ja auf jeden Fall schon einmal "weniger " als eine natürliche Zahl liegen aber formal klappt es dann doch noch nicht so wirklich..
wäre nett, wenn man mir vielleicht nochmal einen (oder bei meiner Lage auch mehrere :D) Anstöße geben würde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 06.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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