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| Aufgabe | Untersuchen Sie ob folgendes Integral konvergiert. (Versuchen Sie nicht das Integral explizit zu berechnen!)
[mm] \integral_{0^+}^{1}{\bruch {dx}{xcosx}} [/mm] |
Ich hab mich jetzt daran versucht und hab folgendes Ergebnis raus:
[mm] ... [mm] \to \limes_{n\rightarrow 0^+} \integral_{n}^{1} {\bruch {dx}{xcosx}} \to \limes_{n\rightarrow 0^+} [/mm] [ln | [mm] xcosx|]_{n}^1 \to \limes_{n\rightarrow 0^+} [/mm] (ln |cos 1|) - (ln |n*cos n|) [mm] \to [/mm] ln |cos 1| - ln 0 [mm] \to +\infty
[/mm]
Kann jemand sagen ob das stimmt oder wenn nicht, wo mein Fehler ist bzw. die Korrektur dazu?
Danke!
P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast -entgegen dem guten Rat- versucht das Integral zu bestimmen.
differenzier mal mit Ketten und Produktregel ln(x*cosx)!
Also ist dein Weg sicher falsch.
Wenn du die fkt unter dem Integral majorisiern oder Minorisiern kannst, und es dann immer noch konv. oder div. ist das der richtige Weg.
Gruss leduart
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Ich wusste nicht, dass das auch eine explizite Bestimmung ist.
Dachte explizit wäre was anderes. Ok gut, dann passiert mir der Fehler sicherlich nicht nochmal.
Ich habs dann mal so probiert:
[mm] \integral_{0^+}^{1}}{\bruch {dx}{x*cos x}} [/mm]
[mm] x*cos x [/mm] ist immer [mm] \le x [/mm]
Wenn ich also zeigen kann, dass [mm] \integral_{0^+}^{1}}{ \bruch {dx}{x}} \to \infty
dann \Rightarrow \integral_{0^+}^{1}{\bruch {dx}{x*cosx}} \to \infty [/mm]
Geht das so?
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Hallo Sesqui!
Prinzipiell ist das nun absolut richtig, wie Du das machst. Allerdings fehlt hier noch aus der Beziehung [mm] $x*\cos(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ x*(+1) \ = \ x$ die Beziehung zwischen diesen beiden Brüchen, die daraus folgt:
[mm] $$\bruch{1}{x*\cos(x)} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{x}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\bruch{1}{x*\cos(x)} [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{x}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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