Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Do 15.04.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie für $x, s [mm] \ge [/mm] 0 $ eine Stammfunktion von [mm] $\frac{1}{x(ln(x))^s}$
[/mm]
b) Entscheiden Sie, für welche $s > 0$ das uneigentliche Integral [mm] $\integral_{2}^{\infty}{\frac{1}{x ln(x)^s} dx}$ [/mm] existiert, und berechnen Sie ggf. den Wert.
c) Für welche $s > 0$ konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{x ln(x)^s}$? [/mm] |
Hallo zusammen,
das aktuelle Übungsblatt zu Analysis 2 bereitet mir wirklich Kopfzerbrechen. Integration ist wirklich eine Kunst  Ich hoffe meine Überlegungen zur obigen Aufgabe weisen mir den richtigen Weg.
Bei der Bestimmung der Stammfunktion zu Aufgabenteil habe ich folgende Substitution durchgeführt: u = ln(x)
Dann ist dx = du x und ich erhalte
$$
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{x(ln(x))^s} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{x u^s} x du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{u^s} du}
[/mm]
$$
Nun gilt in Abhängigkeit von $s > 0$:
$$
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{u^s} du} =\begin{cases} ln(u) + c, & \mbox{für } s = 1 \\
\frac{1}{(1-s) u^{s-1}} , & \mbox{für } s \not= 1
\end{cases}
[/mm]
$$
Ist das soweit richtig? Mich verwirrt, dass in der Aufgabenstellung nach einer Stammfunktion gefragt ist und ich sogesehen zwei Stammfunktionen in Abhängigkeit von s bestimmt habe.
b) Die obere Integrationsgrenze ist singulär, also:
[mm] $\integral_{2}^{\infty}{\frac{1}{x(ln(x))^s} dx} [/mm] = [mm] \limes_{c \rightarrow\infty} \integral_{2}^{c}{\frac{1}{x(ln(x))^s} dx} [/mm] = [mm] \dots$
[/mm]
Bevor ich hiermit weitermache möchte ich erstmal sichergehen, dass die Stammfunktion korrekt ist.
c) Mit dem Intervallsvergleichskriterium kann man folgern, dass die Reihe [mm] $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{x ln(x)^s}$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn $f(x) = [mm] \frac{1}{x ln(x)^s}$ [/mm] stetig und streng monoton fallend ist und zudem das Integral [mm] $\integral_{2}^{\infty}{\frac{1}{x(ln(x))^s} dx}$ [/mm] konvergiert.
Freue mich auf eure Antworten und bedanke mich schonmal ganz herzlich
Gruss
jboss
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> a) Bestimmen Sie für [mm]x, s \ge 0[/mm] eine Stammfunktion von
> [mm]\frac{1}{x(ln(x))^s}[/mm]
>
> b) Entscheiden Sie, für welche [mm]s > 0[/mm] das uneigentliche
> Integral [mm]\integral_{2}^{\infty}{\frac{1}{x ln(x)^s} dx}[/mm]
> existiert, und berechnen Sie ggf. den Wert.
>
> c) Für welche [mm]s > 0[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{x ln(x)^s}[/mm]?
> Hallo zusammen,
> das aktuelle Übungsblatt zu Analysis 2 bereitet mir
> wirklich Kopfzerbrechen. Integration ist wirklich eine
> Kunst Ich hoffe meine Überlegungen zur obigen Aufgabe
> weisen mir den richtigen Weg.
>
> Bei der Bestimmung der Stammfunktion zu Aufgabenteil habe
> ich folgende Substitution durchgeführt: u = ln(x)
> Dann ist dx = du x und ich erhalte
>
> [mm][/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{x(ln(x))^s} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{x u^s} x du}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{u^s} du}[/mm]
> [mm][/mm]
> Nun gilt in
> Abhängigkeit von [mm]s > 0[/mm]:
> [mm][/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{u^s} du} =\begin{cases} ln(u) + c, & \mbox{für } s = 1 \\
\frac{1}{(1-s) u^{s-1}} , & \mbox{für } s \not= 1
\end{cases}[/mm]
> [mm][/mm]
Das muss zweimal 1-s sein. [mm] \bruch{1}{u^s}=u^{-s} \Rightarrow \integral{u^{-s}du}=\bruch{1}{-s+1}*u^{-s+1}=\bruch{1}{1-s}*u^{1-s}
[/mm]
> Ist das soweit richtig? Mich verwirrt, dass in der
> Aufgabenstellung nach einer Stammfunktion gefragt ist und
> ich sogesehen zwei Stammfunktionen in Abhängigkeit von s
> bestimmt habe.
>
> b) Die obere Integrationsgrenze ist singulär, also:
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\frac{1}{x(ln(x))^s} dx} = \limes_{c \rightarrow\infty} \integral_{2}^{c}{\frac{1}{x(ln(x))^s} dx} = \dots[/mm]
>
> Bevor ich hiermit weitermache möchte ich erstmal
> sichergehen, dass die Stammfunktion korrekt ist.
S.o.
> c) Mit dem Intervallsvergleichskriterium kann man folgern,
> dass die Reihe [mm]\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{x ln(x)^s}[/mm]
> genau dann konvergiert, wenn [mm]f(x) = \frac{1}{x ln(x)^s}[/mm]
> stetig und streng monoton fallend ist und zudem das
> Integral [mm]\integral_{2}^{\infty}{\frac{1}{x(ln(x))^s} dx}[/mm]
> konvergiert.
Jo, und wann ist das der fall ? :)
> Freue mich auf eure Antworten und bedanke mich schonmal
> ganz herzlich
>
> Gruss
> jboss
>
>
>
Lg
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Hallo,
du hast natürlich recht.
Ja deine Fallunterscheidungen sind korrekt.
lg
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