Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 04.07.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^{2}} dx} [/mm] |
Hallo Forum,
ich habe das oben stehende Integral ausgerechnet.
u = [mm] e^{-x^{2}} [/mm]
u' = [mm] -2x*e^{-x^{2}} [/mm]
v = [mm] \bruch{1}{2}*x^{2}
[/mm]
v' = x
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \underbrace{[e^{-x^{2}}*\bruch{1}{2}x^{2}]\begin{matrix}
\infty & \\
0 &
\end{matrix}}_{= 0} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{2}*x*e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
Dann habe ich z = [mm] x^{2} [/mm] substituiert.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{z*x*e^{-z} \bruch{dz}{2x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{\infty}{z*e^{-z} dz}
[/mm]
nochmalige part. Integration liefert
[mm] \bruch{1}{2}*[\underbrace{(-z*e^{-z})\begin{matrix}
\infty & \\
0 &
\end{matrix}
}_{= 0} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{-e^{-z} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\infty}{e^{-z} dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*[-e^{-\infty} [/mm] + [mm] e^{-0}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Wäre nett, wenn jemand kurz drüber schauen könnte.
Danke.
Gruß
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Hallo Helicase,
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> Hallo Forum,
>
> ich habe das oben stehende Integral ausgerechnet.
>
> u = [mm]e^{-x^{2}}[/mm]
> u' = [mm]-2x*e^{-x^{2}}[/mm]
> v = [mm]\bruch{1}{2}*x^{2}[/mm]
> v' = x
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x*e^{-x^{2}} dx}[/mm] =
> [mm]\underbrace{[e^{-x^{2}}*\bruch{1}{2}x^{2}]\begin{matrix}
\infty & \\
0 &
\end{matrix}}_{= 0}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^{2}*x*e^{-x^{2}} dx}[/mm]
>
> Dann habe ich z = [mm]x^{2}[/mm] substituiert.
Wieso nicht direkt im Ausgangsintegral?
Dann ist das doch in Windeseile und in einem Schritt erschlagen ...
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{z*x*e^{-z} \bruch{dz}{2x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{\infty}{z*e^{-z} dz}[/mm]
>
> nochmalige part. Integration liefert
>
> [mm]\bruch{1}{2}*[\underbrace{(-z*e^{-z})\begin{matrix}
\infty & \\
0 &
\end{matrix}
}_{= 0}[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{-e^{-z} dz}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\infty}{e^{-z} dz}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*[-e^{-\infty}[/mm] + [mm]e^{-0}][/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wäre nett, wenn jemand kurz drüber schauen könnte.
Es stimmt vom Ergebnis her, ist aber arg kraus aufgeschrieben. Insbesondere verlierst du kein Wort darüber, wie sich nach der Substitution die Grenzen ändern bzw. nicht ändern ...
Das stimmt zwar in der Rechnung, ich würde es aber unbedingt erwähnen.
Außerdem ist die direkte Substitution [mm] $u=u(x):=x^2$ [/mm] sehr viel schneller zielführend ...
>
> Danke.
>
> Gruß
>
>
LG
schachuzipus
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Noch als Ergänzung:
"[mm]e^{-\infty}[/mm]" sollte man nicht schreiben.
Besser [mm]\int\limits_{0}^{\infty}xe^{-x^2} \ dx} \ = \ \lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_0^M{xe^{-x^2} \ dx}[/mm]
Ist ja ein uneigentliches Integral ...
Gruß
schachuzipus
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Noch ein Nachtrag:
Mit etwas Scharfblick erkennt man, dass [mm]x[/mm] fast die Ableitung von [mm]-x^2[/mm] ist ...
Schreibt man [mm]\int{xe^{-x^2} \ dx}=\int{-\frac{1}{2}\cdot{}(-2)\cdot{}x\cdot{}e^{-x^2} \ dx}=-\frac{1}{2}\int{-2xe^{-x^2} \ dx}[/mm], dann sieht man dem Integranden doch seine Nettigkeit an 
[mm]-2xe^{-x^2}=\left[e^{-x^2}\right]'[/mm], um es mal lax zu schreiben ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Do 04.07.2013 | | Autor: | Helicase |
Hallo schachuzipus,
danke für das Drüberschauen :)
Das konkrete und saubere hinschreiben, was z.B. die Substitution angeht, muss ich mehr beherzigen.
Vielen Dank für deine Hinweise.
Bevor ich das nächste Mal solche Integrale oder andere Aufgaben habe, werd ich vorher besser hinschauen, das erleichtert so manches ;)
Schönen Tag.
Gruß Helicase.
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> danke für das Drüberschauen :)
Sehr gerne!
>
> Das konkrete und saubere hinschreiben, was z.B. die
> Substitution angeht, muss ich mehr beherzigen.
>
> Vielen Dank für deine Hinweise.
> Bevor ich das nächste Mal solche Integrale oder andere
> Aufgaben habe, werd ich vorher besser hinschauen, das
> erleichtert so manches ;)
Jo, vor allem der letzte Weg erspart dir jegliches Rechnen
>
> Schönen Tag.
Dir auch!
>
> Gruß Helicase.
Zurück!
schachuzipus
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