Uneigentliches Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Di 16.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x sin(x)}{(x^2+1)(x^2+4)} dx} [/mm] durch Anwendung des Residuensatzes |
Ich habe verstanden, dass ich bei solchen uneigentlich Integralen mithilfe des Residuensatzes berechnen kann. Man macht dazu eine Strecken von -R bis R und schließt diese über den Halbkreis im oberen Halbraum ab. Daraufhin kann der Residuensatz angewandt werden und es werden nur die Sigularitäten innerhalb des Halbkreises berücksichtigt.
Zur oben beschriebenen Aufgabe gibt es auch eine Lösung jedoch verstehe ich diese nicht.
Zuerst wird das Integral aufgespalten in: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x e^{ix}}{2i(x^2+1)(x^2+4)} dx}-\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x e^{-ix}}{2i(x^2+1)(x^2+4)} dx}. [/mm] Dies ist durch die Exponetialschreibweise des Sinus möglich.
Als nächstes wird dann gesagt, dass für das erste Integral der Halbkreis im oberen Halbraum geschlossen wird und für das zweite im Unteren Halbraum. Hier verstehe ich leider nicht wieso.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 16.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie wird denn ein Kreis mit [mm] e^{ix} [/mm] mit wachsendem x durchlaufen, wie [mm] e^{-ix}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Di 16.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Ich weiß leider nicht genau was du meist.
[mm] e^{ix} [/mm] ist ja eine komplexe zahl mit Radius ein. Wenn x immer größer wird dreht sich die Zahl also um den Mittelpunkt und wiederholt sich alle [mm] 2\pi.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Di 16.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich weiß leider nicht genau was du meist.
> [mm]e^{ix}[/mm] ist ja eine komplexe zahl mit Radius ein. Wenn x
> immer größer wird dreht sich die Zahl also um den
> Mittelpunkt und wiederholt sich alle [mm]2\pi.[/mm]
Wenn du das Integral ueber [mm] $e^{ix} \cdot [/mm] f(x)$ (wobei $f(x) [mm] \to [/mm] 0$ fuer $|x| [mm] \to \infty$) [/mm] ueber $[-R, R]$ und dann den Halbkreis im oberen Halbraum machst, musst du noch etwas anderes zeigen um damit etwas ueber das Integral ueber $[-R, R]$ mit $R [mm] \to \infty$ [/mm] aussagen zu koennen:
Und zwar muss das Integral ueber den oberen Halbkreis gegen 0 gehen fuer $R [mm] \to \infty$.
[/mm]
Jetzt schau dir mal fuer $x = R [mm] e^{i t}$, [/mm] $t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]$ [/mm] den Betrag von [mm] $e^{i x}$ [/mm] an. Was kannst du darueber sagen? Und was ist der Unterschied zum Betrag von [mm] $e^{i x}$ [/mm] in diesem Intervall fuer $t$?
Wenn du das beantworten kannst, solltest du wissen, warum das gerade so aufgeteilt wird :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Di 16.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
> Jetzt schau dir mal fuer [mm]x = R e^{i t}[/mm], [mm]t \in [0, \pi][/mm] den
> Betrag von [mm]e^{i x}[/mm] an. Was kannst du darueber sagen? Und
> was ist der Unterschied zum Betrag von [mm]e^{i x}[/mm] in diesem
> Intervall fuer [mm]t[/mm]?
Der Betrag von [mm]e^{i x}[/mm] ist doch auch 1, da das R ja nur den Winkel beeinflusst. Oder?
> Wenn du das beantworten kannst, solltest du wissen, warum
> das gerade so aufgeteilt wird :)
>
> LG Felix
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Di 16.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Jetzt schau dir mal fuer [mm]x = R e^{i t}[/mm], [mm]t \in [0, \pi][/mm] den
> > Betrag von [mm]e^{i x}[/mm] an. Was kannst du darueber sagen? Und
> > was ist der Unterschied zum Betrag von [mm]e^{i x}[/mm] in diesem
> > Intervall fuer [mm]t[/mm]?
>
> Der Betrag von [mm]e^{i x}[/mm] ist doch auch 1, da das R ja nur den
> Winkel beeinflusst. Oder?
Du verwechselst $x = [mm] e^{i t}$ [/mm] hier wohl mit [mm] $e^{i x} [/mm] = [mm] e^{i R e^{i t}}$. [/mm] Der Betrag davon ist nur selten gleich 1.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 16.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Mist:
D.h. [mm] e^{iRe^{it}}=e^{i(Rcos(it)+iRsin(it))}=e^{iRcos(it)-Rsin(it)}=e^{-Rsin(it)}*e^{iRcos(it)}=>Betrag [/mm] ist [mm] e^{-Rsin(it)} [/mm] und das geht gegen 0 für R [mm] \to \infty
[/mm]
bei [mm] e^{-iRe^{it}}=e^{Rsin(it)}*e^{-iRcos(it)} [/mm] hier geht dann dann dre Betrag gegen [mm] \infty [/mm] für R [mm] \to \infty. [/mm] Deshalb nehmen ich hier den unteren Halbkreis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Di 16.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mist:
> D.h.
> [mm]e^{iRe^{it}}=e^{i(Rcos(it)+iRsin(it))}=e^{iRcos(it)-Rsin(it)}=e^{-Rsin(it)}*e^{iRcos(it)}=>Betrag[/mm]
> ist [mm]e^{-Rsin(it)}[/mm] und das geht gegen 0 für R [mm]\to \infty[/mm]
Wenn du jetzt [mm] $\sin(it)$ [/mm] und [mm] $\cos(it)$ [/mm] durch [mm] $\sin(t)$ [/mm] und [mm] $\cos(t)$ [/mm] ersetzt, passt es besser  Und es geht nur dann gegen 0, wenn [mm] $\sin(t) [/mm] > 0$ ist. Das ist fuer $t [mm] \in [/mm] (0, [mm] \pi)$ [/mm] der Fall, fuer $t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]$ [/mm] ist es jedoch immer noch beschraenkt. Und das reicht hier, da der Nenner schon dafuer sorgt dass es gegen 0 geht.
> bei [mm]e^{-iRe^{it}}=e^{Rsin(it)}*e^{-iRcos(it)}[/mm] hier geht
> dann dann dre Betrag gegen [mm]\infty[/mm] für R [mm]\to \infty.[/mm]
Solange [mm] $\sin(t) [/mm] > 0$ ist, ja. Wenn dagegen [mm] $\sin(t) [/mm] < 0$ ist -- was beim unteren Halbkreis der Fall ist -- ist es wieder bescrhaenkt.
> Deshalb nehmen ich hier den unteren Halbkreis?
Genau.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:07 Mi 17.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Wow. Vielen Dank. Das hat mir sehr weiter geholfen.
Allerdings bringt das leider sofort die nächste Frage auf...
Bei einer anderen Aufgabe soll [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(3x)}{x^2-4x+5}dx} [/mm] brechnet werden.
Wieso wird dann hier in der Lösung nicht (wie oben) aufgespalten und für das eine Integral über den oberen und für das andere über den unteren Halbkreis integriert? Der Kosinus unterscheidet sich doch vom Sinus hier nur um das +Zeichen und das i im Nenner.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Mi 17.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Allerdings bringt das leider sofort die nächste Frage
> auf...
> Bei einer anderen Aufgabe soll
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(3x)}{x^2-4x+5}dx}[/mm]
> brechnet werden.
> Wieso wird dann hier in der Lösung nicht (wie oben)
> aufgespalten und für das eine Integral über den oberen
> und für das andere über den unteren Halbkreis integriert?
Wie wurde die Aufgabe denn geloest?
Vielleicht wollte euch der Loesungsautor zeigen, dass es auch andere Loesungswege gibt. Aber vielleicht funktioniert der Ansatz hier auch nicht, schliesslich hat man eine Potenz von $x$ im Nenner weniger. Das muesste man mal konkret nachrechnen und schauen, ob das Integral ueber die Halbkreise gegen 0 geht fuer $R [mm] \to \infty$. [/mm] Erst dann weiss man, ob der Ansatz funktioniert oder nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Mi 17.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Es wurde gesagt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(3x)}{x^2-4x+5}dx}= \integral_{-\infty}^{\infty}{Re(\bruch{e^{3iz}}{z^2-4z+5})dz}=Re(\integral_{-\infty}^{\infty}{f(z)dz})
[/mm]
Dann wurde abgeschätzt:
[mm] |\integral_{\beta}{f(z)dz]}|=\integral_{\beta}{|\bruch{e^{3iz}}{z^2-4z+5}|dz}=\integral_{0}^{\pi}{|\bruch{e^{3iR*e^{it}}}{R^2*e^{it}^2-4R*e^{it}+5}|dt} [/mm] und das geht gegen Null für R [mm] \to \infty
[/mm]
wobei hier [mm] \beta [/mm] der Weg [mm] [0,\pi] \to \IC, [/mm] t [mm] \to Re^{it} [/mm] ist.
=> Polstelle bei 2+i:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(3x)}{x^2-4x+5}dx}=Re(\integral_{\aplha}{f(z)dz})=Re(2\pi*i*Res(f,2+i))=Re(\pi*e^{6i-3})=\bruch{\pi*cos(6)}{e^3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mi 17.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Es wurde gesagt:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(3x)}{x^2-4x+5}dx}= \integral_{-\infty}^{\infty}{Re(\bruch{e^{3iz}}{z^2-4z+5})dz}=Re(\integral_{-\infty}^{\infty}{f(z)dz})[/mm]
>
> Dann wurde abgeschätzt:
>
> [mm]|\integral_{\beta}{f(z)dz]}|=\integral_{\beta}{|\bruch{e^{3iz}}{z^2-4z+5}|dz}=\integral_{0}^{\pi}{|\bruch{e^{3iR*e^{it}}}{R^2*e^{it}^2-4R*e^{it}+5}|dt}[/mm]
> und das geht gegen Null für R [mm]\to \infty[/mm]
> wobei hier [mm]\beta[/mm]
> der Weg [mm][0,\pi] \to \IC,[/mm] t [mm]\to Re^{it}[/mm] ist.
> => Polstelle bei 2+i:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(3x)}{x^2-4x+5}dx}=Re(\integral_{\aplha}{f(z)dz})=Re(2\pi*i*Res(f,2+i))=Re(\pi*e^{6i-3})=\bruch{\pi*cos(6)}{e^3}[/mm]
das ist genau das was ich schrieb: ein leicht alternativer Rechenweg. Beim ersten Integral haettest du das genauso machen koennen (halt mit Imaginaerteil anstelle Realteil), und die Methode vom ersten Integral kannst du auch genauso hier anwenden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 17.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
ok. Vielen Dank.
Ist dann hier ein formaler Fehler?
$ [mm] |\integral_{\beta}{f(z)dz]}|=\integral_{\beta}{|\bruch{e^{3iz}}{z^2-4z+5}|dz}=\integral_{0}^{\pi}{|\bruch{e^{3iR\cdot{}e^{it}}}{R^2\cdot{}e^{it}^2-4R\cdot{}e^{it}+5}|dt} [/mm] $
Weil [mm] cos(3x)\not= e^{3iz}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mi 17.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ok. Vielen Dank.
>
> Ist dann hier ein formaler Fehler?
>
> [mm]|\integral_{\beta}{f(z)dz]}|=\integral_{\beta}{|\bruch{e^{3iz}}{z^2-4z+5}|dz}=\integral_{0}^{\pi}{|\bruch{e^{3iR\cdot{}e^{it}}}{R^2\cdot{}e^{it}^2-4R\cdot{}e^{it}+5}|dt}[/mm]
Das erste "=" muss ein [mm] "$\le$" [/mm] sein. Und beim zweiten "=" fehlt denke ich die Ableitung von [mm] $\beta$ [/mm] (bzw. der Betrag davon).
> Weil [mm]cos(3x)\not= e^{3iz}[/mm]
Was hat das damit zu tun? $f$ ist doch die Funktion it [mm] $e^{3 i z}$? [/mm] (Oder steht in der Loesung etwas anderes?)
LG Felix
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