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Hallo!
Ich versuche folgendes Integral zu lösen
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz}
[/mm]
Die Lösung ist laut Literatur [mm] \pi^2 [/mm] / 3.
Ich habe es mit dem Residuensatz versucht, erhielt jedoch dabei eine unendliche divergente Summe. Eine anständige Stammfunktion fand ich auch nicht. Mit der Substitution z(w) [mm] \equiv [/mm] 2 i w
wird das Integral optisch etwas einfacher aber war für mich leider immer noch nicht zu lösen. Bis auf Vorfaktoren wäre dann das Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{z^2 }{\cos(z)^2} dz}
[/mm]
zu lösen.
Würde mich sehr freuen, wenn einer von Euch eine Idee hätte,
Viele Grüße,
Martin
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OK, wenn schon dann richtig:
Beim zweiten Integral sind die Grenzen etwas schlampig:
Richtig wäre [mm] \integral_{-i\infty}^{i \infty}{\cdots dz}.
[/mm]
Denn ansonsten konvergiert das wohl nicht. Aber leider führt mich dieses Integral bislang auch nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Do 23.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Martin,
> Ich versuche folgendes Integral zu lösen
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz}[/mm]
>
> Die Lösung ist laut Literatur [mm]\pi^2[/mm] / 3.
> Ich habe es mit dem Residuensatz versucht, erhielt jedoch
> dabei eine unendliche divergente Summe.
Kein Wunder: damit du den Residuesatz anwenden darfst, muss du ja den Integrationsweg schließen. Es würde mich sehr wundern, wenn das Integral entlang dieses "Halbkreises" gleich Null wäre.
> Eine anständige
> Stammfunktion fand ich auch nicht. Mit der Substitution
> z(w) [mm]\equiv[/mm] 2 i w
> wird das Integral optisch etwas einfacher aber war für mich
> leider immer noch nicht zu lösen. Bis auf Vorfaktoren wäre
> dann das Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{z^2 }{\cos(z)^2} dz}[/mm]
>
> zu lösen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dieses Integral divergiert. Durch die Variablentransformation liegt dein Integrationsweg entlang der imaginären Achse, das Integral wäre also
[mm]\integral_{-i\infty}^{+i\infty}{\frac{z^2 }{\cos(z)^2} dz}[/mm]
Zunächst einmal ist (durch Substitution [mm]z\rightarrow -z[/mm])
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz} = \integral_{-\infty}^{0}{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz}[/mm], also
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz} = 2 \integral_{-\infty}^{0}{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz}[/mm].
Vereinfache das Integral erst einmal durch partielle Integration:
[mm]\integral{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz} = -\frac{z^2}{\exp(z)+1} + 2 \integral{\frac{z}{\exp(z)+1} dz} [/mm]
Dann [mm]w=e^z[/mm] substituieren:
[mm]\integral{\frac{z}{\exp(z)+1} dz} = \integral{\frac{\ln w}{w(1+w)}dw} = \integral{\frac{\ln w}{w}\dw - \integral{\frac{\ln w}{w+1}\dw} = \frac{1}{2}(\ln w)^2 - (\ln w) \ln(w+1) + \integral \frac{\ln(1+w)}{w} dw}[/mm],
wobei ich im letzten Schritt das zweite Integral durch partielle Integration umgeformt habe.
Mit der Substitution w=-u wird aus dem letzten Integral der Dilogarithmus
[mm]\mathrm{Li}_{2}(z) = \integral_0^z \frac{-\ln(1-t)}{t} dt[/mm].
Zusammengefasst ist die Stammfunktion
[mm]\integral{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz} = -\frac{z^2}{\exp(z)+1} + z^2 -2 z\ln(1+e^z) -2 \mathrm{Li}_{2}(-e^z)[/mm]
Für [mm]z\rightarrow -\infty[/mm] geht dieser Term gegen Null, also ist dein Integral
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{z^2 \exp(z)}{(\exp(z)+1)^2} dz} = 2 \left[\frac{z^2}{\exp(z)+1} + z^2 -2 z\ln(1+e^z) -2 \mathrm{Li}_{2}(-e^z)\right]_{-\infty}^{0} = -4 \mathrm{Li}_{2}(-1) = \frac{\pi^2}{3}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Mit dem Dilogarithmus also, den habe ich nicht kommen sehen. Vielen Dank für Deine Lösung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Do 23.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Ich muss doch zugeben, dass ich für die Stammfunktion ein Computeralgebrasystem (Maxima) gefragt habe. Es hilft einem mindestens, alle Vorzeichen richtig zu setzen 
Grüße
Rainer
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