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Uneigentliches/Riemann Integra: Tipp, Iddd
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Di 15.12.2015
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Zeige, dass f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] Riemann integrierbar impliziert, dass f:(a,b] [mm] \to \IR [/mm] uneigentlich integrierbar ist.

Guten Tag!

Meine Aufgabe ist es, die obige Implikation zu beweisen. Könntet ihr mir bitte einen Denkanstoß hinsichtlich des Beweises geben?
Ich danke Euch!

Beste Grüße
mathe_thommy

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Uneigentliches/Riemann Integra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Di 15.12.2015
Autor: fred97


> Zeige, dass f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] Riemann integrierbar
> impliziert, dass f:(a,b] [mm]\to \IR[/mm] uneigentlich integrierbar
> ist.
>  Guten Tag!
>  
> Meine Aufgabe ist es, die obige Implikation zu beweisen.
> Könntet ihr mir bitte einen Denkanstoß hinsichtlich des
> Beweises geben?

Ist f:[a,b] $ [mm] \to \IR [/mm] $ Riemann integrierbar, so definiere F:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] durch

    [mm] F(x):=\integral_{x}^{b}{f(t) dt}. [/mm]

Der Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung besagt, dass F stetig ist.

Hilft das ?

FRED

>  Ich danke Euch!
>  
> Beste Grüße
>  mathe_thommy
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Uneigentliches/Riemann Integra: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Di 15.12.2015
Autor: mathe_thommy

Hallo Fred!

Besten Dank für den Tipp. Ich definiere also eine Funktion F(x) als Stammfunktion von f(x). Ich weiß, dass F eine Stammfunktion von f ist, falls F in allen Punkten des Definitionsbereiches von f (also auf IR) differenzierbar ist. Kann ich darüber argumentieren oder ist das die komplett falsche Richtung?
Falls nicht, wäre ich Ihnen für einen weiteren Tipp sehr dankbar.

Beste Grüße
mathe_thommy

Bezug
                        
Bezug
Uneigentliches/Riemann Integra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Di 15.12.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred!
>  
> Besten Dank für den Tipp. Ich definiere also eine Funktion
> F(x) als Stammfunktion von f(x).

Nein ! Ist f "nur" Riemann- integrierbar, so ist F zwar stetig auf [a,b], aber F muss auf [a,b] nicht differenzierbar sein !

Ist f stetig auf [a,b], so ist F auf  [a,b] differenzierbar und

    $F'(x)=-f(x)$.

Beachte, dass $ [mm] F(x):=\integral_{x}^{b}{f(t) dt}$ [/mm]  (x ist die untere(!) Integrationsgrenze !).

Nun ist f aber nicht als stetig vorausgesetzt, also können wir das mit der Stammfunktion vergessen. Wie gesagt: F ist stetig. Danit haben wir

  [mm] \limes_{x \rightarrow a} \integral_{x}^{b}{f(t) dt}= \limes_{x \rightarrow a} F(x)=F(a)=\integral_{a}^{b}{f(t) dt}. [/mm]

Der Grenzwert [mm] \limes_{x \rightarrow a} \integral_{x}^{b}{f(t) dt} [/mm] existiert also.

FRED



>  Ich weiß, dass F eine
> Stammfunktion von f ist, falls F in allen Punkten des
> Definitionsbereiches von f (also auf IR) differenzierbar
> ist. Kann ich darüber argumentieren oder ist das die
> komplett falsche Richtung?
>  Falls nicht, wäre ich Ihnen für einen weiteren Tipp sehr
> dankbar.
>  
> Beste Grüße
>  mathe_thommy


Bezug
                                
Bezug
Uneigentliches/Riemann Integra: Rückmeldung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 Di 15.12.2015
Autor: mathe_thommy

Ich danke Ihnen vielmals!
Die Argumentation ist mir völlig klar und nachvollziehbar - ich wäre nur nicht selbst darauf gekommen.
Nochmals: Dankeschön für Ihre Bemühungen!

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