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| Aufgabe | | [mm] \produkt_{i=1}^{\infty} [/mm] (1 + [mm] z^{2n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] für |z|<1 |
Hallo, wenn mir jemand helfen würde wäre das sehr nett!
Ich weiß bereits, dass das Produkt absolut konvergiert ( denn die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infti}z^{2n} [/mm] konvergiert absolut). Also darf ich gegebenenfalls umordnen.
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Die Formel ist falsch, nicht nur was den Bezeichnerwirrwarr betrifft. Vermutlich soll es
[mm]\prod_{n=0}^{\infty} \left( 1 + z^{2^n} \right) = \frac{1}{1-z}[/mm]
heißen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Do 11.07.2013 | | Autor: | FroschQuak |
Vielen Dank! Dann ist das Problem wohl die Aufgabenstellung. Deine Reihe kann man sehr leicht mit Induktion bzw auf zurückführen der Geometrischen Reihe lösen :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:28 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\produkt_{i=1}^{\infty}[/mm] (1 + [mm]z^{2n})[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] für
> |z|<1
Wie Leopold schon gesagt hat: so stimmt das nicht.
Noch ein Tipp zur Aufgabe: berechne doch mal das partielle Produkt bis zum Glied $k$, also [mm] $\prod_{n=0}^k [/mm] (1 + [mm] z^{2^n})$. [/mm] Das hat eine sehr einfache Form, und du kannst das sehr elegant per Induktion zeigen. Und damit sollte dann auch recht klar sein, wie du die obige Gleichheit zeigen kannst.
LG Felix
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