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Unendliche Reihen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mi 06.09.2006
Autor: SoB.DarkAngel

Aufgabe
Überprüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und berechnen sie ggf. deren Werte

a. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^{2}-1} [/mm]

b. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(\bruch{1}{2})^{k}+k}{k+1} [/mm]

Hallo ihr lieben!

Ich wurde heute gefragt, ob ich diese beiden Aufgaben lösen kann. Leider musste ich feststellen, dass ich überhaupt nicht dazu in der Lage bin, was wohl auch mit an meiner eher schlecht als rechten Analysis-Vorlesung vor vier Semestern liegt.
Ich habe schon in meinen Büchern und im Internet gestöbert, aber das hat alles nichts gebracht.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand von euch helfen könnte.
Vielen Dank.

SoB.DarkAngel

        
Bezug
Unendliche Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Mi 06.09.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Überprüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und berechnen
> sie ggf. deren Werte
>  
> a. [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^{2}-1}[/mm]

Erstmal: Mittels des Majorantenkriterium kann man schnell zeigen, dass sie konvergiert. (Versuch es mit der Majorante [mm] $\sum \frac{1}{k^2}$ [/mm] abzuschaetzen.)

Um den Wert der Reihe zu berechnen, mach doch zuerst eine Partialbruchzerlegung: [mm] $\frac{1}{4 k^2 - 1} [/mm] = [mm] \frac{A}{2 k - 1} [/mm] + [mm] \frac{B}{2 k + 1}$. [/mm] Wenn du dir jetzt eine endliche Teilsumme anschaust, [mm] $\sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2 - 1}$, [/mm] dann kannst du den Wert davon recht konkret ausrechnen (wenn $n$ nicht zuuu klein ist) (wenn du es nicht siehst, schreib doch mal die ersten paar Partialsummen hin, sagen wir bis $n = 5$, und setz die Partialbruchzerlegung ein; dann sollte dir was auffallen).

Wenn du dann $n [mm] \to \infty$ [/mm] gehen laesst, bekommst du den Grenzwert der Reihe.

> b. [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(\bruch{1}{2})^{k}+k}{k+1}[/mm]

Wenn diese Reihe konvergieren wuerde, so muesste die Folge der Summanden eine Nullfolge sein. Trifft das hier zu?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Unendliche Reihen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 Do 07.09.2006
Autor: SoB.DarkAngel

Vielen Dank schonmal für deine Antwort!
Aufgabenteil a) konnte ich jetzt lösen und habe [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus. Hoffe doch, dass das richtig ist... :-)

Noch eine Frage zu Aufgabenteil b):

Wenn die Folge der einzelnen Summanden eine Nullfolge wäre, dann müsste ja
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\bruch{1}{2})^{n}+n}{n+1}=0 [/mm]
sein.
Das widerlege ich dann, indem ich den Grenzwert ausrechne.
Kann ich das mit de l'Hopital machen, also:
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\bruch{1}{2})^{k}ln(\bruch{1}{2})+1}{1}=1 [/mm]   ??????
Ist das richtig?
Oder muss man das auch anders machen?

Bezug
                        
Bezug
Unendliche Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Do 07.09.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Vielen Dank schonmal für deine Antwort!
>  Aufgabenteil a) konnte ich jetzt lösen und habe
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] raus. Hoffe doch, dass das richtig ist... :-)

Laut Maple ja :-)

> Noch eine Frage zu Aufgabenteil b):
>  
> Wenn die Folge der einzelnen Summanden eine Nullfolge wäre,
> dann müsste ja
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\bruch{1}{2})^{n}+n}{n+1}=0[/mm]
>  sein.
>  Das widerlege ich dann, indem ich den Grenzwert
> ausrechne.
>  Kann ich das mit de l'Hopital machen, also:
>  
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\bruch{1}{2})^{k}ln(\bruch{1}{2})+1}{1}=1[/mm]
>   ??????
>  Ist das richtig?

Das sollte so gehen, ja. Hierbei ist es jedoch wichtig, dass $f(k) := [mm] (1/2)^k [/mm] + k$ und $g(k) := k + 1$ erstmal auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert sind (oder zumindest auf einem Intervall der Form [mm] $[n_0, \infty[$) [/mm] und dort differenzierbar sind.

>  Oder muss man das auch anders machen?

Nein. Aber man kann auch ganz ohne analytische Hilfsmittel argumentieren, etwa so:

Es ist [mm] $\frac{(1/2)^n + n}{n + 1} [/mm] = [mm] \frac{(1/2)^n - 1 + n + 1}{n + 1} [/mm] = [mm] \frac{(1/2)^n - 1}{n + 1} [/mm] + 1$. Nun geht [mm] $(1/2)^n \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$, [/mm] insbesondere ist der Zaehler des Bruches beschraenkt. Jedoch geht $n + 1 [mm] \to \infty$, [/mm] womit der Bruch also gegen 0 geht.

LG Felix


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