Unendliche Schnittmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 07.10.2007 | | Autor: | Infimum |
Hallo,
wieso ist [mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty} (-\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})=\{0\}$?
[/mm]
Wie kann ich das einsehen bzw. beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> wieso ist [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} (-\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})=\{0\}[/mm]?
>
> Wie kann ich das einsehen bzw. beweisen?
Wegen $0 [mm] \in\left(-\tfrac{1}{n};\tfrac{1}{n}\right)$, [/mm] für $n=1,2, [mm] \ldots$, [/mm] ist sicherlich [mm] $0\in \bigcap_{n=1}^\infty \left(-\tfrac{1}{n};\tfrac{1}{n}\right)$.
[/mm]
Ist aber [mm] $x\neq [/mm] 0$, so kann man ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\tfrac{1}{n_0}<\tfrac{|x|}{2}<|x|$, [/mm] d.h. mit [mm] $\tfrac{2}{|x|}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 07.10.2007 | | Autor: | Infimum |
Hallo,
danke, der erste Teil ist klar. Im zweiten Teil verstehe ich nicht ganz wie diese Betragsungleichung zustande kommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 07.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo,
>
> danke, der erste Teil ist klar. Im zweiten Teil verstehe
> ich nicht ganz wie diese Betragsungleichung zustande kommt.
Großzügiges Abschätzen.
Für [mm] $x\neq [/mm] 0$, so brauchen wir ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x\notin \left(-\tfrac{1}{n_0};\tfrac{1}{n_0}\right)$.
[/mm]
Damit gilt es für [mm] $\tfrac{1}{n_0}<|x|$ [/mm] und somit [mm] $\tfrac{1}{|x|}
Wenn man an ein paar Stellen großzügige "Sicherheitsabstände" (d.h. 2 statt 1 in dem Fall) einbaut, muß man sich um Details (wie z.B. ob bei den letzten Ungleichungen ein < stehen muß oder ein [mm] \leq [/mm] ausreicht) nicht so viele Gedanken machen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 07.10.2007 | | Autor: | Infimum |
Meinst du nicht eher in der zweiten Zeile $ [mm] x\in \left(-\tfrac{1}{n_0};\tfrac{1}{n_0}\right) [/mm] $ ?
Und wieso eigentlich der Betrag?
|
|
|
| |
|
Hallo Infimum,
> Meinst du nicht eher in der zweiten Zeile [mm]x\in \left(-\tfrac{1}{n_0};\tfrac{1}{n_0}\right)[/mm]
> ?
Nein, wir wollen doch zeigen, dass 0 als einzige Zahl in jedem Intervall [mm] \left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) [/mm] liegt, dass es also für jedes [mm] x\neq [/mm] 0 ein Intervall [mm] \left(-\frac{1}{n_0},\frac{1}{n_0}\right) [/mm] gibt, so dass x NICHT in diesem Intervall liegt
> Und wieso eigentlich der Betrag?
Um die Symmetrie zu beiden Seiten von 0 abzudecken
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 07.10.2007 | | Autor: | Infimum |
Ok, aber dann ist mir der Beweis noch nicht klar:
"Wegen $ 0 [mm] \in\left(-\tfrac{1}{n};\tfrac{1}{n}\right) [/mm] $, für $ n=1,2, [mm] \ldots [/mm] $, ist sicherlich $ [mm] 0\in \bigcap_{n=1}^\infty \left(-\tfrac{1}{n};\tfrac{1}{n}\right) [/mm] $."
Für $n=1,2,3$ ist $0 [mm] \in\left(-\tfrac{1}{n};\tfrac{1}{n}\right)$, [/mm] aber wie kann man wirklich zeigen, dass es für alle $n$ gilt? "Sicherlich" ist kein mathematisches Argument.
"Ist aber $ [mm] x\neq [/mm] 0 $, so kann man ein $ [mm] n_0\in\IN [/mm] $ mit $ [mm] \tfrac{1}{n_0}<\tfrac{|x|}{2}<|x| [/mm] $, d.h. mit $ [mm] \tfrac{2}{|x|}
Hier ist es ähnlich: Wir haben die Bedingung aufgeschrieben, dass für $ [mm] x\notin \bigcap_{n=1}^\infty \left(-\tfrac{1}{n};\tfrac{1}{n}\right) [/mm] $ mit [mm] $x\neq [/mm] 0$ gelten muss: für jedes [mm] $x\neq [/mm] 0$ gibt es ein ein $ [mm] n_0\in\IN [/mm] $ mit $ [mm] \tfrac{1}{n_0}<\tfrac{|x|}{2}<|x| [/mm] $, d.h. mit $ [mm] \tfrac{2}{|x|}
|
|
|
| |
|
Hallo Infimum,
zum ersten Teil:
es gilt doch sicher für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] -\frac{1}{n}<0 [/mm] und [mm] \frac{1}{n}>0
[/mm]
Also ist doch [mm] 0\in\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)
[/mm]
Klar, oder?
zum zweiten Teil.
Ja, du hast streng genommen recht.
Man müsste [mm] \underline{explizit} [/mm] ein solches [mm] n_0 [/mm] angeben.
Versuchen wir's
Zu [mm] x\neq [/mm] 0 wähle [mm] $n_0:=\left[\frac{2}{|x|}\right]\in\IN$
[/mm]
wobei [] die Gaußklammer sein soll
Es ist stets [mm] z\le [/mm] [z]<z+1
Also:
(1) für x>0:
[mm] $\frac{2}{x}\le n_0=\left[\frac{2}{x}\right] [/mm] < [mm] \frac{2}{x}+1$
[/mm]
Und damit [mm] 2\cdot{}\frac{1}{x}\le n_0, [/mm] also [mm] \frac{1}{x}< n_0
[/mm]
Und damit [mm] x>\frac{1}{n_0}, [/mm] also [mm] x\notin \left(-\frac{1}{n_0},\frac{1}{n_0}\right)
[/mm]
(2) für x<0 ist |x|=-x, also [mm] n_0=\left[-\frac{2}{x}\right]
[/mm]
Damit ist [mm] -\frac{2}{x}\le n_0\Rightarrow -\frac{x}{2}\ge \frac{1}{n_0}\Rightarrow \frac{x}{2}\le -\frac{1}{n_0}
[/mm]
Und wegen [mm] x<\frac{x}{2} [/mm] ist dann [mm] x<-\frac{1}{n_0}
[/mm]
Also wieder [mm] x\notin \left(-\frac{1}{n_0},\frac{1}{n_0}\right)
[/mm]
Also ist für [mm] x\neq [/mm] 0 mit diesem [mm] n_0=\left[\frac{2}{|x|}\right] [/mm] in jedem Falle [mm] x\notin \left(-\frac{1}{n_0},\frac{1}{n_0}\right)
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
|
