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Unendliche Wurzel eins: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Sa 20.11.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
Sei $a [mm] \in \IR$. [/mm]
a) Es soll gezeigt werden, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt $a [mm] \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)$. [/mm]
b)Es soll gezeigt werden, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1$ [/mm] ist.


Hallo,

also

a) benutze ich Bernoulli:

[mm] $a=(1+x)^{n} \ge [/mm] 1+nx
[mm] a=(1+x)^{n} \Rightarrow x=(a^{\frac{1}{n}}-1) [/mm]
[mm] \Rightarrow a=(1+x)^{n} \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)$ [/mm]


b)
[mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow \sqrt[n]{a}=1+x [/mm]
[mm] \Rightarrow (1+x)^{n}=a \ge [/mm] 1+nx
[mm] \Rightarrow \frac{a-1}{n} \ge [/mm] x
[mm] \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n}\ge [/mm] x = 0
[mm] \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1+0 [/mm] =0

Ist das so in Ordnung, auch was die Pfeile betrifft?


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.



        
Bezug
Unendliche Wurzel eins: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:11 So 21.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> Sei [mm]a \in \IR[/mm].
> a) Es soll gezeigt werden, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt [mm]a \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)[/mm].
> b)Es soll gezeigt werden, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1[/mm] ist.
>  
> Hallo,
>
> also

In dem was du schreibst steht zwar alles, was du brauchst, um die Aufgabe zu loesen, aber es ist voellig falsch aufgeschrieben.

> a) benutze ich Bernoulli:
>
> [mm]$a=(1+x)^{n} \ge[/mm] 1+nx
> [mm]a=(1+x)^{n} \Rightarrow x=(a^{\frac{1}{n}}-1)[/mm]
>  [mm]\Rightarrow a=(1+x)^{n} \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)$[/mm]

So schreibt man das ganz sicher nicht auf. Fang an mit $x = [mm] a^{1/n} [/mm] - 1$ und wende dann Bernoulli an (und bedenke, dass du begruenden musst, warum du Bernoulli anwenden kannst!).

> b)
> [mm]$\limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1[/mm]

Das sollst du beweisen. Nicht die Argumentationskette damit anfangen!

>  [mm]\Rightarrow \sqrt[n]{a}=1+x[/mm]

Vorsicht, $x$ haengt von $n$ ab.

> [mm]\Rightarrow (1+x)^{n}=a \ge[/mm] 1+nx

Wenn schon solltest du $a = (1 + [mm] x)^n \ge [/mm] 1 + n x$ schreiben. Schliesslich willst du ja zeigen, dass $a [mm] \ge [/mm] 1 + n x$ ist, und es nicht benutzen.

>  [mm]\Rightarrow \frac{a-1}{n} \ge[/mm] x

Auch hier: $x$ haengt von $n$ ab.

>  [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n}\ge[/mm]
> x = 0

Und das ist damit falsch.

Du kannst allerdings damit sagen, dass falls [mm] $(x_n)_n$ [/mm] konvergiert, [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n \le [/mm] 0$ gilt.

>  [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1+0[/mm]
> =0

Also $1 + 0$ ist immer noch $1$. Und das willst du auch zeigen.

Aus der Argumentation oben bekommst du [mm] $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} \le [/mm] 1$.

Falls [mm] $x_n \ge [/mm] 0$ ist fuer alle $n$, folgt dass der Grenzwert gleich 1 ist. Wann kannst du [mm] $x_n \ge [/mm] 0$ garantieren?

Was ist mit den anderen Faellen?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Unendliche Wurzel eins: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 So 21.11.2010
Autor: kushkush


> Fang an mit $ x = [mm] a^{1/n} [/mm] - 1 $ und wende dann Bernoulli an (und bedenke, > dass du begruenden > musst, warum du Bernoulli anwenden kannst!).

[mm] $x=a^{\frac{1}{n}}-1 \Rightarrow (1+x)^{n} \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] n(a^{\frac{1}{n}}-1)$ [/mm]

Ist es so in Ordnung? Reicht es als Begründung, wenn ich Bernoulli per Induktion beweise?


> Das sollst du beweisen. Nicht die Argumentationskette damit anfangen!

Ok dann fange ich damit an:
[mm] $\sqrt[n]{a}=1+x_{n}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow a=(1+x_{n})^{n} \ge 1+nx_{n}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{a-1}{n}\ge x_{n}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n} \ge x_{n} \le [/mm] 0
[mm] \Rightarrow 1+x_{n} [/mm] = 1+0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a} [/mm]


Danke!!!



Bezug
                        
Bezug
Unendliche Wurzel eins: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Mo 22.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> > Fang an mit [mm]x = a^{1/n} - 1[/mm] und wende dann Bernoulli an
> (und bedenke, > dass du begruenden > musst, warum du
> Bernoulli anwenden kannst!).
>
> [mm]$x=a^{\frac{1}{n}}-1 \Rightarrow (1+x)^{n} \ge 1+n(a^{\frac{1}{n}}-1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\ge[/mm] 1 + [mm]n(a^{\frac{1}{n}}-1)$[/mm]
>  
> Ist es so in Ordnung?

Du musst noch sagen, dass $x [mm] \ge [/mm] -1$ ist, ansonsten kannst du Bernoulli nicht anwenden.

> Reicht es als Begründung, wenn ich
> Bernoulli per Induktion beweise?

Wenn ihr den Satz nicht hattet, waer das besser.

> > Das sollst du beweisen. Nicht die Argumentationskette damit
> > anfangen!
>  
> Ok dann fange ich damit an:
> [mm]\sqrt[n]{a}=1+x_{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow a=(1+x_{n})^{n} \ge 1+nx_{n}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \frac{a-1}{n}\ge x_{n}[/mm]

Soweit ok.

> [mm]$\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n} \ge x_{n} \le[/mm]
> 0

Eben nicht.

Du meinst $0 = [mm] \lim_{n\to\infty} \frac{a - 1}{n} \ge \lim_{n\to\infty} x_n$. [/mm]

> [mm]\Rightarrow 1+x_{n}[/mm] = 1+0 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 = [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}[/mm]

Aus dem obigen folgt erstmal nur [mm] $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] (1 + [mm] x_n) [/mm] = 1 + [mm] \lim_{n\to\infty} x_n \le [/mm] 1 + 0 = 1$.

Jetzt musst du noch [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n \ge [/mm] 0$ zeigen.

Schau dir mal die drei Faelle $a < 1$, $a = 1$ und $a > 1$ getrennt an. Kannst du in jedem der Faelle etwas ueber [mm] $x_n$ [/mm] aussagen?

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Unendliche Wurzel eins: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 Di 23.11.2010
Autor: kushkush


> Schau dir mal die drei Faelle $ a < 1 $, $ a = 1 $ und $ a > 1 $ getrennt an. > Kannst du in jedem der Faelle etwas ueber $ [mm] x_n [/mm] $ aussagen?

Ja, [mm] x_{n} [/mm] geht gegen 0 für alle 3 Fälle!



Danke!!!!

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