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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Sa 05.11.2005 | | Autor: | AriR |
Die frage wurde in keinem anderen forum gestellt.
hey leute, stehe mal wieder aufem schlauch +g+
weiß einer von euch, warum man sagen dass [mm] \bruch{n^{n}}{n!} [/mm] < [mm] \bruch{n}{1}
[/mm]
wäre ich euhc dankbar.. gruß ari
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 05.11.2005 | | Autor: | AriR |
hmm ich soll den grenzwert der folge [mm] \bruch{n^{n}}{n!} [/mm] finden. ich schaffe das aber irgendwie nicht.. hat vieleicht einer ne idee ob man dazu eine minorante findet oder so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
Was ist denn mit meinem Tipp aus der vorigen Antwort?
Betrachte mal die Folge [mm] $b_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{n^n}$ [/mm] !
[mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{1*2*...*(n-1)*n}^{n \ Faktoren}}{\underbrace{n*n*...*n*n}_{n \ Faktoren}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{2}{n} [/mm] * ... * [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n}{n}$
[/mm]
Und nun Grenzwertbetrachtung für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 So 06.11.2005 | | Autor: | AriR |
könnte ich das so machen:
[mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n} *\bruch{n}{n-1} *\bruch{n}{n-2} *...*\bruch{n}{1}
[/mm]
und für den teil kann man sagen, dass der 1.faktor 0 ist, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht und für die restlichen kann man sagen, dass der nenner und zähler ca beide gegen [mm] \infty [/mm] gehen ( [mm] \infty [/mm] -1 = [mm] \infty) [/mm] etc. als hat man da sozusagen stehen 1*1*1*...*1 und somit konvergiert die folge gegen 1 oder ist das falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 06.11.2005 | | Autor: | AriR |
jo das ist wohl gut, nur dann muss ich wieder die 1/an folge beweisen etc etc.. kennst du nicht zufällig eine minorante zu der folge, das ahben wir als tip bekommen zu der aufgabe von dem übungsgruppenleiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Di 08.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
Mir ist zwar nicht ganz klar, warum Du Dich so gegen meinen Ansatz sperrst  ... aber bitte:
[mm] $\bruch{n^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{1} [/mm] * \ [mm] \underbrace{\bruch{n}{1}}_{> \ 1} [/mm] \ * \ [mm] \underbrace{\bruch{n}{2}}_{> \ 1} [/mm] \ * \ [mm] \underbrace{\bruch{n}{3}}_{> \ 1} [/mm] \ * ... * \ [mm] \underbrace{\bruch{n}{n-1}}_{> \ 1} [/mm] \ * [mm] \underbrace{\bruch{n}{n}}_{\red{=} \ 1} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ n* \ [mm] \underbrace{1*1*...*1*1}_{(n-1)-mal} [/mm] \ = \ n \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] \infty$
[/mm]
Gruß
Loddar
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