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Die Aufgabe lautet:
3 [mm] \vektor{ \bruch{n}{3}}^n \le [/mm] n!
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Hallo Biene!
Wäre schön, wenn du auch mal eine Begrüßung schreibst und die Aufgabe ein bisschen erläuterst, anstatt sie wie eine Forderung einfach hier reinzuschreiben!
Ich würde es mal mit Induktion versuchen, wobei der Induktionsanfang n=1 ist. (WARUM?)
MfG
Bastiane
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Sorry....
Ist nicht nett gewesen, wie ich den Thread eröffnet habe, kommt nicht wieder vor...
Trotzdem:
Auch mit Induktion komm ich nicht wirklich zum Ziel. Ich bleibe auf halber Strecke hängen. Kennt irgendjemand noch eine andere Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 So 07.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Biene!
Wieso sollte die Induktion denn nicht funktionieren?
Also, zunächst mal musst du für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] zeigen (falls das in der Vorlesung noch nicht bewiesen wurde, findest du es in zahlreichen Skripten, wo die Eulersche Zahl $e$ eingeführt wird):
(*) [mm] $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \le [/mm] 3$.
Nun geht es so weiter:
$3 [mm] \cdot \left( \frac{n+1}{3} \right)^{n+1}$
[/mm]
$= 3 [mm] \cdot \frac{n+1}{3} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot \left( \frac{n}{3} \right)^n$
[/mm]
$= [mm] \frac{n+1}{3} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot \left( \frac{n}{3} \right)^n$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(IV)}{\le} \frac{n+1}{3} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot [/mm] n!$
[mm] $\stackrel{(\*)}{\le} \frac{n+1}{n} \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] n!$
$= (n+1)!$.
War doch gar nicht so schwer... 
Liebe Grüße
Stefan
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