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| Aufgabe | | Es sei 0 < y < x und p > 1. Zeigen Sie [mm] py^{p-1}(x-y)[/mm] [mm]\le[/mm] [mm] x^p [/mm] - [mm] y^p[/mm] [mm]\le[/mm] [mm] px^{p-1}(x-y) [/mm] |
Hallo Gemeinschaft,
also ich sitze grad an einer ungleichung die sich von mir leider nicht lösen lässt.
Meine Vorgehensweise bisher war:
a:= [mm] py^{p-1}(x-y)
[/mm]
b:= [mm] x^p [/mm] - [mm] y^p
[/mm]
c:= [mm] px^{p-1}(x-y)
[/mm]
als 1. habe ich a [mm]\le[/mm] c gezeigt. Ist ja nicht die welt. Es gilt sogar a < c
als nächstes wollte ich b [mm]\le[/mm] c zeigen bzw. a [mm]\le[/mm] b zeigen. aber da hat es bei mir gehabert.
i) [mm] x^p [/mm] - [mm] y^p[/mm] [mm]\le[/mm] [mm] px^{p-1}(x-y)
[/mm]
ii) [mm] x^p [/mm] - [mm] y^p[/mm] [mm]\le[/mm] [mm] p(x^p [/mm] - [mm] x^{p-1}y)
[/mm]
mit [mm] (x^p [/mm] - [mm] x^{p-1}y)[/mm] [mm]\le[/mm] [mm] p(x^p [/mm] - [mm] x^{p-1}y)
[/mm]
iii) [mm] x^p [/mm] - [mm] y^p[/mm] [mm]\le[/mm] [mm] (x^p [/mm] - [mm] x^{p-1}y) [/mm] wollte ich dann zeigen, bis mir aufgefallen dass [mm] y^{p-1} [/mm] < [mm] x^{p-1} [/mm] und deshalb iii) nur in der form
[mm] (x^p [/mm] - [mm] x^{p-1}y)[/mm] [mm]\le[/mm] [mm] x^p [/mm] - [mm] y^p.
[/mm]
also das p benötige ich zum bestätigen der ungleichung aber leider fällt mit nix mir mehr.
Habt ihr vielleicht eine idee?
wäre super :)
gruß muh
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mi 26.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Benutze doch die Linerafaktorzerlegung
[mm]x^p-y^p =(x-y)(x^{p-1}+x^{p-2}y+\dots+x y^{p-2}+y^{p-1})[/mm]
und [mm]x>y[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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danke danke :)
durch die linearfaktorzerlegung wird es echt machbar. ich glaub das verfahren kommt auf meine trickliste
gruß muh
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