Ungleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: |z − [mm] w|\le [/mm] |z| − |w| für z,w [mm] \in \IC. [/mm] |
Hallo,
wäre dass so richtig gezeigt:
[mm] |z-w|^2=(z+w)(\overline{z-w}) [/mm] = [mm] (z+w)(\overline{z}-\overline{w})
[/mm]
[mm] =z\overline{z}-zw+w\overline{z}=|z|^2-|w|^2
[/mm]
es folgt |z − [mm] w|\le [/mm] |z| − |w|
Bitte um kleine Info ob man das hier in diesem Fall so machen kann, und ob es hierfür auch ausreicht..
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
kann vielleicht jemand mir einen Hinweis dazu geben?
meine Anfertigung wird doch sicher nicht reichen, oder doch?
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Hallo Feiratos,
> Zeigen Sie: |z − [mm]w|\le[/mm] |z| − |w| für z,w [mm]\in \IC.[/mm]
Was heißt denn dieses 0015-Symbol da?
Wenn die Ungleichung [mm] $|z-w|\le|z|-|w|$ [/mm] heißen soll, dann ist sie falsch, nimm z=1, w=2, dann klappt's nicht
Ich kenne nur die umgekehrte Ungleichung: [mm] $|z|-|w|\le|z-w|$
[/mm]
Es ist nämlich [mm] $|z|=|(z-w)+w|\underbrace{\le}_{\triangle-Ungl.}|z-w|+|w|$ [/mm]
Nun auf beiden Seiten $-|w|$ und es steht da ...
>
> Hallo,
>
> wäre dass so richtig gezeigt:
>
> [mm]|z-w|^2=(z+w)(\overline{z-w})[/mm] =
> [mm](z+w)(\overline{z}-\overline{w})[/mm]
> [mm]=z\overline{z}-zw+w\overline{z}[/mm]
Wie kommst du hierauf?
> [mm]=|z|^2-|w|^2[/mm]
>
> es folgt |z − [mm]w|\le[/mm] |z| − |w|
>
> Bitte um kleine Info ob man das hier in diesem Fall so
> machen kann, und ob es hierfür auch ausreicht..
>
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Zeige:
$ [mm] |z|-|w|\le|z-w| [/mm] $ |
Hallo,
Danke für die Info,,
$ [mm] |z|-|w|\le|z-w| [/mm] $ ist richtig, habe es aus Versehen verdreht.
Wir haben den Tipp bekommen , mit der Dreicksungleichung zu arbeiten.
die Dreiecksungleichung:
[mm] |w+z|\le|w|+|z|
[/mm]
wie kann ich aber diese anwenden? Wenn ich beide verknüpfen würde, dann würde vielleicht so aussehen:
[mm] (|z-w|)+(|w+z|)\le(|w|+|z|)+(|z|-|w|)
[/mm]
muss ich vielleicht die Betragsklammern wegglassen?
[mm] (z-w)+(w+z)\le(w+z)+(z-w)
[/mm]
und die dritte Idee , die ich glaube wirklich die richtige ist:
[mm] |(z-w)+(w+z)|\le|(w+z)|+|(z-w)|
[/mm]
ist mein Ansatz richtig?
Noch eine Frage:
Wenn ich die Dreiecksungleichung nutzen kann,um Ungleichungen zu beweisen, was kann man dann noch nutzen?
Und wenn es also noch andere Sachen gibt(könnte mir z.B. den binomischen Lehrsatz vorstellen), woran erkenne ich was ich benutzen muss, gibts da ein Trick oder einfach probieren?
LG Daniel
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Hallo Daniel,
> Zeige:
>
> [mm]|z|-|w|\le|z-w|[/mm]
> Hallo,
>
> Danke für die Info,,
>
> [mm]|z|-|w|\le|z-w|[/mm] ist richtig, habe es aus Versehen
> verdreht.
>
> Wir haben den Tipp bekommen , mit der Dreicksungleichung zu
> arbeiten.
>
> die Dreiecksungleichung:
>
> [mm]|w+z|\le|w|+|z|[/mm]
>
> wie kann ich aber diese anwenden? Wenn ich beide verknüpfen
> würde, dann würde vielleicht so aussehen:
> [mm](|z-w|)+(|w+z|)\le(|w|+|z|)+(|z|-|w|)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die "Teilabschätzung" [mm] $|z-w|\le|z|-|w|$ [/mm] stimmt doch so nicht, nimm mal $z=2, w=-1$, dann ist $|z-w|=|2-(-1)|=|3|=3$ und $|z|-|w|=|2|-|-1|=2-1=1$ ABER [mm] $3\not\le [/mm] 1$
>
> muss ich vielleicht die Betragsklammern wegglassen?
> [mm](z-w)+(w+z)\le(w+z)+(z-w)[/mm]
>
> und die dritte Idee , die ich glaube wirklich die richtige
> ist:
> [mm]|(z-w)+(w+z)|\le|(w+z)|+|(z-w)|[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ok, diese Abschätzung gilt, das ist ja die [mm] $\triangle$-Ungl., [/mm] aber wie soll's weiter gehen? Wo ist der Zusammenhang zur Beh., die du zeigen sollst?
>
> ist mein Ansatz richtig?
Der vollständige Beweis dazu (mit Ausnahme einer klitzekleinen Umformung) steht in meiner anderen Antwort ...
>
> Noch eine Frage:
> Wenn ich die Dreiecksungleichung nutzen kann,um
> Ungleichungen zu beweisen, was kann man dann noch nutzen?
Im Prinzip alles, was dir eine Abschätzung in die gewünschte Richtung erlaubt, manchmal ist zB. die Bernoulli'sche Ungleichung nützlich, das kommt aber immer auf die konkrete Aufgabe an, eine "Pauschalabschätzung" gibt es nicht.
Ein im Zusammenhang mit der Dreiecksungleichung immer wieder genutzter "Trick" ist das Addieren einer "nahrhaften Null" und dann Anwendung der Dreiecksungleichung, genau wie es oben im Beweis steht:
[mm] $|z|=|z\underbrace{\red{-w+w}}_{=0}|=|(z-w)+w|\underbrace{\le}_{\triangle-Ungl.}|z-w|+|w|$
[/mm]
nun rechne [mm] $\blue{-|w|}$ [/mm] auf beiden Seiten ...
[mm] $\Rightarrow |z|\blue{-|w|}\le|z-w|+|w|\blue{-|w|}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |z|-|w|\le|z-w|$
[/mm]
> Und wenn es also noch andere Sachen gibt(könnte mir z.B.
> den binomischen Lehrsatz vorstellen), woran erkenne ich was
> ich benutzen muss, gibts da ein Trick oder einfach
> probieren?
Das ist mehr eine Sache des Probierens und der Erfahrung, je mehr Abschätzungen du gesehen und vor allem selbst gemacht hast, desto besser geht dir das auch von der Hand.
Aufgaben zur Stetigkeit (mit [mm] $\varepsilon/\delta$) [/mm] oder auch zu Grenzwerten von Folgen [mm] ($\varepsilon$-Def.) [/mm] sind da ganz nützlich zum Üben
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> LG Daniel
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Gruß
schachuzipus
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