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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 So 23.11.2008 | | Autor: | Beliar |
Beweisen sie das für alle natürlichen Zahlen k,l,m und n gilt:
Wenn [mm] k\le [/mm] l und [mm] m\len [/mm] dann gilt [mm] k*m\le [/mm] l*n. Behandeln sie zuerst den Fall m=n mit Hilfe der vollständigen Induktion.
So dann will ich mal meine Schwächen offen legen.
k und l sind fest jetzt kommt der Beweis für den Fall m = n durch Induktion.
Mein erstes Problem: setze ich n = 0, erhalte ich
k * 0 = 0 und für l * 0 = 0 müsste also falsch sein?
bei k * 1 = k und für l *1 = l ich glaube das ist richtig, könnte es aber nicht erklären.
Wenn jetzt gilt k * n ≤ l * n muss ich beweisen, das gilt:
k* (n+1) ≤ l * (n+1) auch hier fehlt mir leider die Erkenntnis warum es so ist.
Ich kann nun hierfür schreiben
(k + n) * 1 ≤ (l + n) * 1
Kann mir jemand erklären wie das geht,
Danke für jeden Tip/Hilfe
Beliar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Beliar |
Hilfe-kennt sich den niemand damit aus??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast als Voraussetzungen: $ k [mm] \le [/mm] l$ und $ m [mm] \le [/mm] n $ mit $ [mm] k,l,m,n\in\IN [/mm] $
Dann gilt:
$ [mm] k*m\le [/mm] l*n $
Nimm erstmal m=n
Dann ist der Ind-Anfang:
$ [mm] k*m\le [/mm] l*m $
Durch m teilen dreht das "Ungleichungszeichen" hier nicht, warum, kannst du den Voraussetzungen entnehmen.
$ [mm] \gdw [/mm] k [mm] \le [/mm] l $
Also ist die IV:
$ [mm] k*m\le [/mm] l*n $
Als Ind-Schritt musst du zeigen, dass:
$ [mm] k*(m+1)\le [/mm] l*(n+1) $
Am sinnvollsten ist eine (Un)gleichungskette.
k(m+1)
= km+k
[mm] \le [/mm] ln+k
[mm] \le [/mm] ln+l
= l(n+1)
Diese Einzelschritte musst du natürlich noch ein wenig begründen, und zum Teil brauchst du, dass [mm] k,l,m,n\in\IN [/mm] (Im Ind-Schritt z.B.)
Marius
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